Integració i aplicacions: primitives, integral definida, àrees i volums
La integració inclou el càlcul de primitives (immediates, per canvi de variable, per parts i racionals senzilles), l'aplicació de la regla de Barrow i el càlcul d'àrees de recintes i de volums de revolució. És habitual que es demani l'àrea d'un recinte limitat per una corba i una recta, o per dues corbes, i que la puntuació depengui tant de plantejar bé els punts de tall com del càlcul final.
Primitives
- Taula bàsica i linealitat: ∫(af + bg) = a∫f + b∫g. Recordeu ∫(1/x)dx = ln|x| i ∫(f′/f)dx = ln|f|.
- Canvi de variable: si apareix g(f(x))·f′(x), es pren t = f(x) i cal canviar també els límits si la integral és definida.
- Per parts: ∫u dv = uv − ∫v du; típic per a x·e^x, x·cos x i x·ln x (en aquest últim, u = ln x).
- Racionals amb denominador descomponible en factors lineals: descomposició en fraccions simples del tipus A/(x − a).
Integral definida
- Barrow: ∫ₐᵇ f = F(b) − F(a), amb F una primitiva qualsevol (la constant no afecta el resultat).
- Propietats: intercanviar els límits canvia el signe, additivitat respecte de l'interval, i si f és senar llavors ∫₋ₐᵃ f = 0.
Àrees i volums
- Àrea entre dues corbes: trobar els punts de tall, integrar |f − g| i separar els intervals on canvia qui va per sobre.
- Àrea entre una corba i l'eix OX: integrar cada tros per separat, prenent el valor absolut de cada resultat.
- Volum de revolució al voltant de l'eix OX: V = π∫ₐᵇ f(x)² dx; al voltant de l'eix OY, amb la funció inversa x = g(y).
Exemple resolt
Calculeu l'àrea del recinte limitat per y = x² i y = x + 2. Punts de tall: x² = x + 2 ⇒ x² − x − 2 = 0 ⇒ x = −1 i x = 2. Entre aquests valors la recta va per sobre, ja que x + 2 − x² ≥ 0. A = ∫₋₁² (x + 2 − x²)dx = [x²/2 + 2x − x³/3]₋₁² = (10/3) − (−7/6) = 27/6 = 9/2. L'àrea és 4,5 u².
Errors que resten punts
- No trobar tots els punts de tall o no comprovar quina corba queda per sobre en cada interval.
- Oblidar el factor π o elevar malament en el volum: V = π∫f², no π∫f.
- Integrar un interval on la funció canvia de signe sense separar-lo, de manera que les àrees es resten.
- En un canvi de variable, no actualitzar els límits d'integració o no desfer correctament el canvi.