Probabilitat: combinatòria, probabilitat condicionada, independència i Bayes
La probabilitat combina el recompte combinatori amb el càlcul de probabilitats, la probabilitat condicionada, la independència, el teorema de la probabilitat total i el teorema de Bayes. Els enunciats solen presentar urnes, extraccions d'una població o proves diagnòstiques, i demanen interpretar correctament la informació que condiciona el càlcul.
Combinatòria
- Regla del producte per a eleccions successives independents.
- Si importa l'ordre i no hi ha repetició: variacions V(n,k) = n!/(n − k)!. Sense ordre: combinacions C(n,k) = n!/(k!(n − k)!).
- Amb repetició: n^k si l'ordre importa i C(n + k − 1, k) si no importa.
- Permutacions de n elements: n!; amb elements repetits, n!/(n₁!n₂!…).
Probabilitat i operacions amb successos
- Regla de Laplace: P(A) = casos favorables / casos possibles, quan tots són equiprobables.
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); P(Ā) = 1 − P(A).
- Successos incompatibles: A ∩ B = ∅. No s'han de confondre amb successos independents.
- Condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), amb P(B) > 0. Independents ⇔ P(A ∩ B) = P(A)P(B) ⇔ P(A|B) = P(A).
Probabilitat total i Bayes
- P(B) = Σ P(Aᵢ)·P(B|Aᵢ), amb els Aᵢ formant una partició de l'espai mostral.
- P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ)P(B|Aᵢ) / Σ P(Aⱼ)P(B|Aⱼ). El denominador és sempre la probabilitat total del succés observat.
Exemple resolt
La urna U₁ té 3 boles blanques i 2 negres; la U₂, 1 blanca i 4 negres. Triem una urna a l'atzar i n'extraiem una bola, que resulta blanca. Quina és la probabilitat que provingui de U₁? P(blanca) = (1/2)(3/5) + (1/2)(1/5) = 3/10 + 1/10 = 2/5. P(U₁|blanca) = (3/10)/(2/5) = 3/4.
Errors que resten punts
- Confondre P(A|B) amb P(B|A), error especialment freqüent en proves diagnòstiques (sensibilitat enfront de valor predictiu).
- Oblidar el denominador de Bayes o calcular-lo sense la probabilitat total.
- Suposar independència sense justificar-la; la incompatibilitat no implica independència.
- Confondre variacions amb combinacions quan l'ordre d'elecció no importa.