Estadística: variables aleatòries, binomial, normal, mostreig i intervals de confiança
Aquest bloc treballa les variables aleatòries (mitjana i variància), la distribució binomial, la distribució normal, l'aproximació binomial–normal i la inferència: distribució de la mitjana mostral i intervals de confiança. És el bloc on la tipificació i la lectura de taules tenen més pes, i on un error en la desviació típica arrossega tot l'exercici.
Variable aleatòria discreta
- μ = Σ xᵢpᵢ; σ² = Σ xᵢ²pᵢ − μ²; σ = √σ².
- Binomial B(n, p): P(X = k) = C(n,k)p^k q^(n−k), amb q = 1 − p; μ = np; σ² = npq.
- Condicions per aplicar-la: n proves independents, dos resultats possibles (èxit i fracàs) i probabilitat p constant en cada prova.
Distribució normal
- Si X ~ N(μ, σ), es tipifica Z = (X − μ)/σ ~ N(0,1). Llavors P(a < X < b) = Φ((b − μ)/σ) − Φ((a − μ)/σ).
- Simetria: Φ(−z) = 1 − Φ(z); P(Z > z) = 1 − Φ(z); P(−z < Z < z) = 2Φ(z) − 1.
- Aproximació binomial → normal si np > 5 i nq > 5, amb correcció de continuïtat: P(X ≤ k) ≈ Φ((k + 0,5 − np)/√(npq)).
Mostreig i intervals de confiança
- La mitjana mostral compleix X̄ ~ N(μ, σ/√n) si la població és normal o si n és gran (teorema central del límit). L'error estàndard és σ/√n.
- Interval de confiança per a la mitjana amb σ coneguda: x̄ ± z_(α/2)·σ/√n. Valors habituals de z: 1,645 (90%), 1,96 (95%) i 2,575 (99%).
- Error màxim E = z·σ/√n, d'on n = (zσ/E)², arrodonit sempre cap amunt.
- Interval per a una proporció: p̂ ± z√(p̂(1 − p̂)/n).
Exemple resolt
Una població és N(μ, 4). Amb una mostra de 100 individus s'obté x̄ = 25. L'interval de confiança al 95% és 25 ± 1,96·4/√100 = 25 ± 0,784, és a dir (24,216; 25,784). Si volem un error màxim de 0,5: n = (1,96·4/0,5)² = 245,86, per tant calen 246 individus.
Errors que resten punts
- Dividir per σ en lloc de σ/√n en tipificar la mitjana mostral.
- Oblidar la correcció de continuïtat en aproximar la binomial per la normal.
- Arrodonir la mida de la mostra cap avall, amb la qual cosa no s'assoleix l'error exigit.
- Confondre variància i desviació típica, o llegir la taula sense restar la Φ del límit inferior.