Madrid PAU Technical Drawing II cheat sheet

Teorema de Tales: una recta paralela a un lado de un triángulo determina segmentos proporcionales en los otros dos lados.

Media proporcional (media geométrica) de segmentos a y b: se construye con semicírculo de diámetro a+b; la altura sobre la hipotenusa es √(ab).

Tercera proporcional de a y b: x tal que a/b = b/x; se obtiene por Tales o con semicírculo.

Cuarta proporcional de a, b y c: x tal que a/b = c/x; construcción directa por haces de rectas paralelas.

Escala E = dibujo/realidad = D/R. Si E=1:50, 1 cm en el plano representa 50 cm reales.

Escala gráfica: segmento dividido en unidades; para ampliaciones E>1 y reducciones E<1.

Bisectriz: lugar geométrico de puntos que equidistan de dos rectas; se construye con arcos de igual radio.

Mediatriz: lugar geométrico de puntos que equidistan de dos puntos; perpendicular en el punto medio.

Construcción de ángulos con regla y compás: 60° con triángulo equilátero, 30° por bisectriz, 45° por bisectriz de 90°.

Suma de ángulos interiores de un polígono de n lados: (n−2)·180°.

Ángulo central de un polígono regular: 360°/n; ángulo interior: (n−2)·180°/n.

Triángulo: desigualdad triangular, cada lado menor que la suma de los otros dos; y mayor que su diferencia.

Construcción de triángulo dados tres lados: arcos de radios iguales a los lados desde los extremos de la base.

Triángulo rectángulo: la hipotenusa es diámetro de la circunferencia circunscrita (teorema de Thales).

Cuadrilátero inscriptible: suma de ángulos opuestos = 180°; circunscriptible: sumas de lados opuestos iguales.

Polígono regular dado el lado: ángulo central 360°/n; se construye con circunferencia auxiliar y división en n partes.

Polígono regular dada la circunferencia circunscrita: dividir 360° en n partes iguales y unir puntos consecutivos.

Método general para polígonos regulares: división de la circunferencia en n partes iguales mediante el método de Tales.

Tangencia entre recta y circunferencia: la recta es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

Tangencia entre dos circunferencias: los centros y el punto de tangencia están alineados.

Circunferencia tangente a dos rectas que se cortan: su centro está en la bisectriz del ángulo.

Circunferencia de radio r tangente a una recta y que pasa por un punto: centro en recta paralela a distancia r y en circunferencia de radio r alrededor del punto.

Enlace de dos rectas con arco de radio dado: centro en la intersección de paralelas a distancia r; puntos de tangencia en las perpendiculares.

Enlace de recta y circunferencia con arco de radio dado: centro en paralela a la recta y en circunferencia concéntrica de radio R±r.

Curva técnica: óvalo (cuatro centros, ejes perpendiculares), ovoide (un eje de simetría), espiral de Arquímedes y voluta.

Óvalo dado el eje mayor: división en tres partes iguales y centros en los extremos y en los puntos de división.

Elipse: lugar geométrico de puntos cuya suma de distancias a dos focos es constante e igual a 2a.

Elipse: relación fundamental a² = b² + c², donde c es la semidistancia focal, a el semieje mayor y b el semieje menor.

Parábola: lugar geométrico de puntos que equidistan de la directriz y del foco; eje perpendicular a la directriz.

Parábola: el vértice está en el punto medio entre foco y directriz; la distancia focal p es la distancia foco-directriz.

Hipérbola: lugar geométrico de puntos cuya diferencia de distancias a dos focos es constante e igual a 2a.

Hipérbola: c² = a² + b²; asíntotas pasan por el centro con pendiente ±b/a.

Trazado de elipse por puntos: dados ejes, se trazan circunferencias concéntricas y se cruzan radios con paralelas.

Trazado de parábola por haces: dividir segmentos y unir con el vértice; también por intersección de circunferencias.

Tangente a una cónica en un punto: en la elipse e hipérbola, la bisectriz del ángulo entre los radios vectores; en la parábola, bisectriz entre el radio vector y la paralela al eje.

Traslación: vector fijo; conserva orientación, distancias y ángulos; es una isometría directa.

Giro: centro y ángulo; isometría directa; el centro es el único punto fijo.

Homotecia: centro O y razón k; OA' = k·OA; conserva ángulos y paralelismo, pero no distancias salvo |k|=1.

Homotecia de razón negativa: el punto imagen está en la semirrecta opuesta; k=−1 equivale a simetría central.

Inversión: centro O y potencia k; OA·OA' = k; una recta que no pasa por O se transforma en circunferencia que pasa por O.

Inversión: circunferencia que pasa por el centro de inversión se transforma en recta que no pasa por O.

Homología: transformación proyectiva plana definida por centro, eje y recta límite; puntos homólogos alineados con el centro.

En homología, rectas homólogas se cortan en el eje; puntos del eje son dobles.

Homología: si una recta es paralela al eje, su homóloga también lo es; la recta límite permite hallar direcciones de rectas homólogas.

Un punto se representa por sus proyecciones horizontal y vertical; la cota es la distancia a la línea de tierra en la proyección vertical.

Pertenencia de punto a recta: sus proyecciones homónimas están sobre las proyecciones de la recta.

Pertenencia de punto a plano: se traza una recta del plano que contenga al punto.

Intersección recta-plano: se traza un plano proyectante que contenga la recta; la intersección con el plano dado y la recta determina el punto.

Intersección de dos planos: se cortan por un plano auxiliar; las intersecciones con cada plano definen dos puntos de la recta intersección.

Recta paralela a plano: si es paralela a una recta contenida en el plano.

Recta perpendicular a plano: sus proyecciones son perpendiculares a las trazas homónimas del plano (o a las horizontales y frontales).

Distancia punto-plano: se traza perpendicular al plano, se halla el pie y se mide la verdadera magnitud del segmento.

Distancia entre rectas paralelas: se toma un punto de una y se mide la distancia al plano que contiene a la otra y es paralelo.

Abatimiento de un plano sobre el horizontal: se gira alrededor de su traza horizontal hasta coincidir con el PH.

En abatimiento, los puntos conservan su cota; la distancia al eje de abatimiento se mide en verdadera magnitud.

Cambio de plano vertical: se elige nueva línea de tierra; las cotas se conservan y las distancias a la nueva LT se trasladan.

Cambio de plano horizontal: se conservan las cotas y se trasladan las distancias a la nueva LT.

Giro de un punto alrededor de un eje vertical: la proyección horizontal describe un arco; la cota permanece constante.

Giro alrededor de un eje perpendicular al vertical: la proyección vertical describe un arco y la horizontal se desplaza paralela a LT.

Superficies poliédricas: prismas y pirámides; en diédrico se representan por sus aristas y contornos aparentes.

Sección de un poliedro por un plano: se hallan las intersecciones con las caras; si el plano es proyectante, la sección se ve directamente.

Verdadera magnitud de una sección: abatir el plano de sección o cambiar de plano hasta que sea paralelo a la sección.

Isométrica: tres ejes a 120°; coeficientes de reducción iguales; en la práctica se usa escala 1:1 con ejes a 120°.

Perspectiva caballera: ejes X y Z perpendiculares (papel) y eje Y oblicuo; coeficiente de reducción en Y según el ángulo.

En caballera, el plano XZ se representa en verdadera magnitud; las aristas paralelas a Y se reducen.

Perspectiva dimétrica: dos coeficientes iguales y uno distinto; trimétrica: tres coeficientes distintos.

Proyección axonométrica ortogonal: los ejes son proyecciones de los ejes coordenados; los coeficientes son cosenos de los ángulos con el plano de proyección.

Isométrica normalizada: aristas paralelas a los ejes; las circunferencias en los planos coordenados se ven como elipses.

En isométrica, el eje Z es vertical; X e Y forman 30° con la horizontal.

En caballera, el eje Y suele dibujarse a 45° con coeficiente 0,5; a 30° o 60° el coeficiente varía.

Perspectiva cónica frontal: el plano del cuadro es paralelo a una cara del objeto; solo hay punto de fuga principal (PF).

Perspectiva cónica oblicua: el plano del cuadro forma ángulo con las caras; hay dos puntos de fuga principales (F1 y F2).

Punto de fuga de una recta: intersección con el plano del cuadro de la paralela a la recta trazada por el punto de vista.

Altura del punto de vista: distancia del observador al plano del cuadro; el horizonte está a la altura de los ojos.

Escala de profundidad: para un punto a distancia d, la escala es h/(h+d), donde h es la distancia del punto de vista al cuadro.

Línea de tierra: intersección del plano del cuadro con el plano geometral; el horizonte es paralelo a ella.

En cónica frontal, las rectas perpendiculares al cuadro fugan al punto principal; las paralelas al cuadro no fugan.

Método de las escalas: se abaten el punto de vista y el geometral para medir distancias en verdadera magnitud.

Acotación: las cotas se expresan en milímetros sin unidad; se colocan sobre la línea de cota, paralelas a la dimensión.

Líneas de cota y de referencia: se trazan con línea fina; las flechas tocan la línea de referencia.

Cota de un diámetro: símbolo Ø; de un radio: R; de una esfera: SØ o SR.

Corte total: se elimina la parte anterior y se raya la sección; los nervios y ejes no se rayan longitudinalmente.

Sección: representación de la intersección del plano de corte con la pieza; puede dibujarse fuera de la vista.

Vistas normalizadas: alzado, planta y perfil; en Europa se emplea el método de proyección del primer diedro.

Líneas ocultas: se representan con trazo discontinuo fino; los ejes con trazo y punto.

Tolerancias geométricas: símbolos de rectitud, planitud, redondez, cilindricidad; se enmarcan en un rectángulo con la zona de tolerancia.

Normas UNE e ISO: UNE-EN ISO 128 para líneas, UNE-EN ISO 129 para acotación, UNE-EN ISO 5456 para proyecciones.