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Question 1Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

En una escala 1:25, ¿qué longitud de papel representa un segmento real de 3,5 m?

  1. 87,5 mm
  2. 14 mm
  3. 140 mm Correct answer.
  4. 875 mm

Explanation

La escala 1:25 indica que una unidad en el dibujo equivale a 25 unidades reales, por lo que se divide la medida real entre 25. Convertimos 3,5 m a 3500 mm y dividimos: 3500/25 = 140 mm. Conviene unificar unidades antes de operar para evitar errores de factor 10.

Question 2Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

Dos segmentos miden 12 cm y 18 cm. ¿Cuál es la razón geométrica del menor respecto al mayor expresada como fracción irreducible?

  1. 2/3 Correct answer.
  2. 6/9
  3. 1/2
  4. 3/2

Explanation

La razón del menor respecto al mayor se plantea como cociente 12/18. Simplificando por el máximo común divisor, 6, resulta 2/3. El orden de los términos es esencial: invertirlo daría la razón del mayor al menor.

Question 3Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

¿Cuánto mide el ángulo que forman las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios?

  1. 45°
  2. 90° Correct answer.
  3. 60°
  4. Depende de la amplitud de los ángulos

Explanation

Si dos ángulos son adyacentes y suplementarios, suman 180°. Cada bisectriz divide su ángulo por la mitad, de modo que el ángulo entre ambas es la semisuma de los dos, es decir, 90°, independientemente de cómo se reparta la suma.

Question 4Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

Se quiere dividir gráficamente un segmento AB en cinco partes iguales con regla y compás. ¿Qué construcción es la correcta?

  1. Dividir la longitud de AB entre cinco y trasladar esa medida cinco veces con el compás
  2. Levantar la mediatriz de AB y subdividir cada mitad en 2,5 partes
  3. Trazar la circunferencia de diámetro AB y repartirla en cinco arcos
  4. Trazar por A una semirrecta auxiliar, llevar cinco divisiones iguales con el compás, unir la última con B y trazar paralelas por las divisiones Correct answer.

Explanation

El teorema de Tales permite repartir un segmento en partes iguales mediante una semirrecta auxiliar con divisiones arbitrarias y haces de paralelas. Al unir el extremo de la última división con B y trazar paralelas, los segmentos resultantes sobre AB son proporcionales e iguales.

Question 5Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

En una homotecia de centro O y razón k = -2, un punto P se transforma en P'. ¿Qué relación se cumple?

  1. P' está en la recta OP, al lado opuesto de O, con OP' = 2·OP Correct answer.
  2. P' está en la recta OP con OP' = OP/2
  3. P' está en la semirrecta OP con OP' = 2·OP
  4. P' coincide con P porque la razón es negativa

Explanation

Una razón negativa invierte el sentido: el punto imagen queda en la recta OP pero en el lado opuesto respecto al centro. El valor absoluto 2 indica que la distancia se duplica. Por tanto OP' = 2·OP medida sobre la recta, con O entre P y P'.

Question 6Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

Un ángulo mide 132°. ¿Cuál es la amplitud de su ángulo suplementario y de su complementario, respectivamente?

  1. 48° y no existe Correct answer.
  2. 48° y 42°
  3. 228° y 42°
  4. 42° y 48°

Explanation

El suplementario es lo que falta hasta 180°, es decir, 180 - 132 = 48°. El complementario exige sumar 90°, pero 132° ya lo supera, por lo que no existe complementario para ángulos mayores o iguales a 90°.

Question 7Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

En una escala gráfica de 0 a 50 m dividida en 5 divisiones principales, cada una subdividida en 10 partes, ¿qué valor representa la menor subdivisión?

  1. 10 m
  2. 5 m
  3. 0,5 m
  4. 1 m Correct answer.

Explanation

Cada división principal vale 50/5 = 10 m. Al subdividirla en 10 partes iguales, la menor unidad vale 10/10 = 1 m. La escala gráfica permite leer directamente medidas reales sin cálculos.

Question 8Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

¿Qué condición garantiza que dos triángulos sean semejantes por el criterio de ángulos?

  1. Tener las tres alturas proporcionales
  2. Tener un lado y un ángulo iguales
  3. Tener el mismo perímetro
  4. Tener dos ángulos respectivamente iguales Correct answer.

Explanation

Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente iguales, el tercero también coincide porque la suma es 180°, y por tanto son semejantes con lados homólogos proporcionales. Es el criterio AA, suficiente y de uso habitual en construcciones.

Question 9Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

Se dibuja un triángulo con lados 6, 8 y 10 cm. Si se construye otro semejante cuyo lado homólogo del de 6 cm mide 9 cm, ¿cuál es la razón de semejanza y el perímetro del nuevo triángulo?

  1. k = 1,5 y perímetro 24 cm
  2. k = 1,5 y perímetro 36 cm Correct answer.
  3. k = 2/3 y perímetro 16 cm
  4. k = 3 y perímetro 72 cm

Explanation

La razón es 9/6 = 1,5. El perímetro original es 6 + 8 + 10 = 24 cm y, en figuras semejantes, los perímetros se multiplican por la razón: 24 × 1,5 = 36 cm. Las áreas, en cambio, se multiplicarían por k².

Question 10Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

¿Qué recta es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos puntos A y B?

  1. La mediatriz del segmento AB Correct answer.
  2. La recta AB
  3. La circunferencia de centro A y radio AB
  4. La bisectriz del ángulo AOB

Explanation

La mediatriz es perpendicular a AB por su punto medio y sus puntos equidistan de A y B. Es un lugar geométrico fundamental usado en construcciones de triángulos y circunferencias.

Question 11Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

Al construir la bisectriz de un ángulo con regla y compás, ¿qué arcos se trazan primero?

  1. Un arco con centro en el vértice que corta ambos lados Correct answer.
  2. Dos arcos de igual radio con centros en los extremos de un lado
  3. La circunferencia inscrita completa
  4. Un arco tangente a los dos lados desde el exterior

Explanation

El método consiste en trazar un arco desde el vértice que corta los dos lados en puntos equidistantes. Desde esos puntos se trazan arcos de igual radio que se cortan, y la recta vértice-intersección es la bisectriz.

Question 12Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

Dos rectángulos son semejantes con razón de semejanza 3. Si el área del menor es 12 cm², ¿cuál es el área del mayor?

  1. 144 cm²
  2. 36 cm²
  3. 108 cm² Correct answer.
  4. 48 cm²

Explanation

En figuras semejantes las áreas varían con el cuadrado de la razón: A' = A · k². Con k = 3, k² = 9, luego 12 × 9 = 108 cm². Confundir k con k² es el error más frecuente en estos problemas.

Question 13Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

En una escala 1:50, un plano muestra una habitación de 8 cm × 6 cm. ¿Cuáles son sus dimensiones reales?

  1. 40 m × 30 m
  2. 16 m × 12 m
  3. 4 m × 3 m Correct answer.
  4. 0,4 m × 0,3 m

Explanation

En escala 1:50 cada centímetro del plano equivale a 50 cm reales, es decir, 0,5 m. Multiplicando: 8 × 0,5 = 4 m y 6 × 0,5 = 3 m. Conviene comprobar que las unidades finales sean coherentes con la magnitud de una habitación.

Question 14Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

¿Cuál es la construcción correcta de la perpendicular a una recta r por un punto P exterior a ella?

  1. Medir la distancia de P a r con la regla y marcar el pie
  2. Unir P con el extremo visible de r
  3. Trazar desde P un arco que corte r en dos puntos y levantar la mediatriz del segmento determinado Correct answer.
  4. Trazar una paralela a r por P y girarla 45°

Explanation

Con centro en P se traza un arco que corta r en dos puntos A y B equidistantes de P. La mediatriz de AB pasa por P y es perpendicular a r, obteniéndose el pie de la perpendicular por intersección.

Question 15Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

Dado un segmento de 7,5 cm, se construye su media proporcional respecto a dos segmentos de 3 cm y 5 cm. ¿Cuánto mide dicha media proporcional?

  1. 8 cm
  2. 3,87 cm Correct answer.
  3. 15 cm
  4. 4 cm

Explanation

La media proporcional x cumple x² = a·b, de modo que x = √(3·5) = √15 ≈ 3,87 cm. Gráficamente se obtiene con una semicircunferencia sobre la suma de los segmentos y la altura correspondiente.

Question 16Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

¿Qué ángulo central corresponde a cada división al dividir una circunferencia en 12 partes iguales?

  1. 30° Correct answer.
  2. 45°
  3. 24°
  4. 36°

Explanation

La circunferencia completa mide 360°; al repartirla en 12 arcos iguales, cada ángulo central vale 360/12 = 30°. Esta división es la base de la construcción del dodecágono regular inscrito.

Question 17Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

En una fotografía aérea, una distancia de 4 cm equivale a 200 m sobre el terreno. ¿Cuál es la escala numérica?

  1. 1:50000
  2. 1:2000
  3. 1:5000 Correct answer.
  4. 1:500

Explanation

Se igualan unidades: 200 m = 20 000 cm. La escala es 4:20 000, que simplificada da 1:5000. Es imprescindible convertir la medida real a centímetros antes de simplificar.

Question 18Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

¿Qué propiedad caracteriza a dos figuras relacionadas por una traslación?

  1. Solo se aplican a circunferencias
  2. Conservan la forma pero no el tamaño
  3. Invierten la orientación de la figura
  4. Conservan forma y tamaño, con lados homólogos paralelos Correct answer.

Explanation

La traslación es una isometría: conserva distancias y ángulos, por lo que la figura imagen es congruente con la original y sus lados homólogos quedan paralelos. No cambia la orientación del plano.

Question 19Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

Se desea construir un triángulo conocidos dos lados a = 5 cm, b = 4 cm y el ángulo comprendido C = 60°. ¿Qué construcción es válida?

  1. Trazar las tres medianas y unir sus extremos
  2. Trazar el ángulo de 60°, llevar sobre sus lados los segmentos 5 y 4 cm y unir los extremos Correct answer.
  3. Trazar los dos lados consecutivos y cerrar con el ángulo opuesto
  4. Construir primero la circunferencia circunscrita de radio 5 cm

Explanation

Conocidos dos lados y el ángulo comprendido, se dibuja el ángulo C y se trasladan sobre sus lados las longitudes a y b desde el vértice. El segmento que une los extremos cierra el triángulo de forma única.

Question 20Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

En una escala 1:200, ¿qué superficie real corresponde a un rectángulo dibujado de 3 cm × 2 cm?

  1. 24 m² Correct answer.
  2. 12 m²
  3. 6 m²
  4. 48 m²

Explanation

Cada centímetro equivale a 200 cm = 2 m. Las dimensiones reales son 6 m × 4 m, y su área es 24 m². También puede calcularse como área del dibujo (6 cm²) por el cuadrado de la escala en cm: 6 × 200² cm².

Question 21Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

¿Qué ángulo forman entre sí la bisectriz de un ángulo y la perpendicular a uno de sus lados trazada por el vértice?

  1. Siempre 45°
  2. El complementario de la mitad del ángulo Correct answer.
  3. El doble del ángulo
  4. La mitad del ángulo

Explanation

La perpendicular forma 90° con el lado. La bisectriz forma con ese mismo lado la mitad del ángulo α/2, de modo que el ángulo entre ambas es 90° - α/2, es decir, el complementario de la semiamplitud.

Question 22Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

Se quiere construir un cuadrado inscrito en una circunferencia dada. ¿Cuál es el procedimiento correcto?

  1. Trazar la tangente en un punto y repetirla
  2. Unir el centro con cuatro puntos arbitrarios
  3. Trazar dos diámetros perpendiculares y unir sus extremos Correct answer.
  4. Dividir la circunferencia en cinco arcos iguales

Explanation

Dos diámetros perpendiculares dividen la circunferencia en cuatro arcos de 90°, y al unir sus extremos consecutivos se obtiene el cuadrado inscrito. La perpendicularidad de los diámetros garantiza lados y ángulos iguales.

Question 23Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

Dos triángulos semejantes tienen áreas de 9 cm² y 36 cm². ¿Cuál es la razón de semejanza entre sus lados?

  1. 1/4
  2. 1/3
  3. 2
  4. 1/2 Correct answer.

Explanation

La razón de áreas es 9/36 = 1/4, y la razón lineal es su raíz cuadrada, 1/2. Recordemos que en semejanza las áreas varían con k², por lo que hay que extraer la raíz para obtener la razón entre lados.

Question 24Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

En una escala 1:5, un segmento real de 45 mm se dibuja con longitud:

  1. 90 mm
  2. 4,5 mm
  3. 225 mm
  4. 9 mm Correct answer.

Explanation

Con escala 1:5, la longitud del dibujo es la real dividida entre 5: 45/5 = 9 mm. La escala de reducción siempre hace menor la medida sobre el papel que la real.

Question 25Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos desde los que un segmento AB se ve bajo un ángulo de 90°?

  1. La circunferencia de diámetro AB Correct answer.
  2. La mediatriz de AB
  3. La recta perpendicular a AB por su punto medio
  4. Las rectas paralelas a AB a distancia AB

Explanation

Por el arco capaz de 90°, los puntos que ven el segmento AB bajo un ángulo recto están en la circunferencia de diámetro AB, excluidos los propios extremos. Es una aplicación directa del teorema de Tales.

Question 26Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

En una escala 1:200, un segmento dibujado mide 8 cm. ¿Cuál es su longitud real en metros?

  1. 16 m Correct answer.
  2. 1,6 m
  3. 160 m
  4. 0,16 m

Explanation

La escala 1:200 indica que 1 cm en el dibujo representa 200 cm en la realidad. Por tanto, 8 cm dibujados equivalen a 8 × 200 = 1600 cm, que son 16 m.

Question 27Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

Dos triángulos son semejantes con razón de semejanza 2:3. Si el área del triángulo menor es 20 cm², ¿cuál es el área del triángulo mayor?

  1. 40 cm²
  2. 45 cm² Correct answer.
  3. 60 cm²
  4. 30 cm²

Explanation

La razón de semejanza entre lados es 2/3. La razón entre áreas es el cuadrado de la razón de semejanza: (2/3)² = 4/9. Por tanto, el área mayor es 20 × (9/4) = 45 cm².

Question 28Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

Dado un segmento AB de 6 cm, se construye su media proporcional (media geométrica) respecto a dos segmentos que miden 3 cm y 12 cm. ¿Cuánto mide dicha media proporcional?

  1. 6 cm Correct answer.
  2. 4 cm
  3. 9 cm
  4. 7,5 cm

Explanation

La media proporcional x entre a y b cumple x² = a · b. Aquí x² = 3 × 12 = 36, luego x = 6 cm. Coincide con la longitud del segmento AB dado, pero el valor se obtiene de la relación geométrica.

Question 29Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

¿Qué lugar geométrico describe el conjunto de puntos del plano desde los que un segmento AB se ve bajo un ángulo de 60°?

  1. La mediatriz del segmento AB
  2. Dos arcos capaces de 60° con centro en la mediatriz de AB Correct answer.
  3. Una circunferencia con centro en el punto medio de AB
  4. Dos rectas paralelas a AB a distancia igual a su longitud

Explanation

El arco capaz de un ángulo α sobre un segmento AB es el lugar de los puntos P tales que ∠APB = α. Para 60° existen dos arcos simétricos respecto de AB, con centros en la mediatriz, y sus radios dependen de la longitud de AB y del ángulo.

Question 30Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales

Se quiere dividir un segmento AB en 5 partes iguales aplicando el teorema de Tales. ¿Cuál es el primer paso correcto?

  1. Trazar la mediatriz de AB y dividirla en 5 partes
  2. Trazar por A una semirrecta auxiliar y llevar sobre ella 5 segmentos iguales Correct answer.
  3. Trazar por A una perpendicular a AB y medir 5 cm
  4. Construir un triángulo equilátero sobre AB

Explanation

El método de Tales consiste en trazar por un extremo una semirrecta auxiliar, llevar sobre ella tantos segmentos iguales como partes se deseen (5), unir el último punto con el otro extremo y trazar paralelas por los puntos intermedios. Así las paralelas cortan a AB en partes proporcionales iguales.

Question 31Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares; construcciones y propiedades

En un triángulo rectángulo, ¿qué propiedad cumple el punto medio de la hipotenusa respecto a los tres vértices?

  1. Es el ortocentro del triángulo rectángulo.
  2. Equidista de los tres vértices y es el centro de la circunferencia circunscrita. Correct answer.
  3. Equidista solo de los dos vértices de los catetos.
  4. Coincide siempre con el incentro del triángulo.

Explanation

En todo triángulo rectángulo la hipotenusa es diámetro de la circunferencia circunscrita (ángulo inscrito de 180°), por lo que su punto medio es el circuncentro y equidista de los tres vértices. Además el ortocentro es el vértice del ángulo recto y el incentro no coincide con ese punto salvo en casos isósceles especiales.

Question 32Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares; construcciones y propiedades

¿Cuánto suma la medida de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados?

  1. (n − 1)·180°
  2. (n − 2)·180° Correct answer.
  3. n·180°
  4. 360° para cualquier n

Explanation

Al descomponer el polígono en n − 2 triángulos desde un vértice, cada triángulo aporta 180°, de modo que la suma es (n − 2)·180°. Por ejemplo, en un pentágono resulta 3·180° = 540°.

Question 33Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares; construcciones y propiedades

En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, ¿qué relación cumplen dos ángulos opuestos?

  1. Son suplementarios. Correct answer.
  2. Son complementarios.
  3. Son iguales.
  4. Su diferencia es siempre 90°.

Explanation

Un ángulo inscrito mide la mitad del arco que abarca; los dos arcos correspondientes a ángulos opuestos suman la circunferencia completa (360°), por lo que los ángulos suman 180° y son suplementarios. Esta condición es necesaria y suficiente para que el cuadrilátero sea cíclico.

Question 34Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares; construcciones y propiedades

¿Qué recta notable del triángulo pasa por el baricentro?

  1. Cada bisectriz interior.
  2. Cada altura.
  3. Cada mediana, trazada desde un vértice al punto medio del lado opuesto. Correct answer.
  4. Cada mediatriz de los lados.

Explanation

El baricentro es el punto de concurrencia de las tres medianas y las divide en razón 2:1 desde el vértice. Las bisectrices concurren en el incentro, las alturas en el ortocentro y las mediatrices en el circuncentro.

Question 35Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares; construcciones y propiedades

¿Qué ángulo central corresponde a cada lado de un hexágono regular inscrito en una circunferencia?

  1. 90°
  2. 60° Correct answer.
  3. 45°
  4. 72°

Explanation

El ángulo central de un polígono regular de n lados es 360°/n; para n = 6 resulta 60°. Como el lado del hexágono regular inscrito es igual al radio, el triángulo formado por dos radios y un lado es equilátero.

Question 36Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares; construcciones y propiedades

En un paralelogramo, ¿qué relación tienen las diagonales entre sí?

  1. Son bisectrices de los ángulos del paralelogramo.
  2. Son iguales en longitud.
  3. Se cortan en sus puntos medios. Correct answer.
  4. Son perpendiculares entre sí.

Explanation

En todo paralelogramo las diagonales se bisecan mutuamente, es decir, se cortan en sus puntos medios. La igualdad de diagonales caracteriza al rectángulo y la perpendicularidad al rombo, propiedades que no son generales.

Question 37Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares; construcciones y propiedades

Se quiere construir un triángulo conociendo los tres lados a = 5 cm, b = 6 cm y c = 12 cm. ¿Qué ocurre al intentar la construcción?

  1. Existe un triángulo rectángulo.
  2. No existe triángulo porque 5 + 6 < 12. Correct answer.
  3. Existe un único triángulo escaleno.
  4. Existen dos triángulos simétricos.

Explanation

La condición de existencia exige que cada lado sea menor que la suma de los otros dos. Aquí 5 + 6 = 11 < 12, por lo que los arcos trazados desde los extremos del lado mayor no se cortan y la construcción es imposible.

Question 38Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares; construcciones y propiedades

Para construir un triángulo isósceles conociendo la base AB y la altura h sobre ella, ¿qué construcción es directa?

  1. Trazar desde A un arco de radio h y cortarlo con la recta AB.
  2. Trazar la mediatriz de AB, situar sobre ella el vértice a distancia h y unir con A y B. Correct answer.
  3. Construir la circunferencia circunscrita de centro A y radio AB.
  4. Trazar la bisectriz del ángulo en A y cortarla con la mediatriz de AB.

Explanation

En el triángulo isósceles la altura sobre la base coincide con la mediatriz de la base, de modo que el vértice opuesto se localiza sobre la mediatriz a la distancia h. Uniendo ese punto con A y B queda determinado el triángulo.

Question 39Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares; construcciones y propiedades

Se construye un cuadrado a partir de su diagonal d. ¿Qué relación hay entre el lado L y la diagonal?

  1. L = d·√3
  2. L = d·√2
  3. L = d/√2 Correct answer.
  4. L = d/2

Explanation

En el cuadrado la diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles de catetos L, luego d = L·√2 y por tanto L = d/√2. Este valor se obtiene gráficamente trazando la mediatriz de la diagonal y llevando su mitad sobre la perpendicular.

Question 40Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares; construcciones y propiedades

¿Cuál es el valor del ángulo interior de un pentágono regular?

  1. 90°
  2. 108° Correct answer.
  3. 135°
  4. 120°

Explanation

La suma de ángulos interiores es (5 − 2)·180° = 540° y, al ser regular, cada uno mide 540°/5 = 108°. Equivalentemente, el ángulo central es 72° y el interior es su suplementario.

Question 41Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares; construcciones y propiedades

Al construir un octógono regular inscrito en una circunferencia, ¿qué operación permite obtener los vértices a partir de dos diámetros perpendiculares?

  1. Trazar las bisectrices de los cuatro ángulos rectos centrales. Correct answer.
  2. Trazar las mediatrices de los radios.
  3. Trazar tangentes en los extremos de un diámetro.
  4. Dividir un radio en ocho partes iguales.

Explanation

Dos diámetros perpendiculares dividen la circunferencia en cuatro arcos de 90°; bisectar cada uno con las bisectrices de los ángulos centrales genera arcos de 45°, que corresponden a los ocho lados. Los vértices resultantes están separados por el ángulo central 360°/8 = 45°.

Question 42Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares; construcciones y propiedades

En un rombo de diagonales 6 cm y 8 cm, ¿cuánto mide el lado?

  1. 10 cm
  2. 5 cm Correct answer.
  3. 4 cm
  4. 7 cm

Explanation

Las diagonales del rombo se cortan perpendicularmente en sus puntos medios, formando cuatro triángulos rectángulos de catetos 3 cm y 4 cm. El lado es la hipotenusa: √(3² + 4²) = 5 cm.

Question 43Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares; construcciones y propiedades

En un triángulo, el circuncentro queda situado en el exterior del triángulo. ¿Qué se deduce?

  1. El triángulo es isósceles.
  2. El triángulo es acutángulo.
  3. El triángulo es obtusángulo. Correct answer.
  4. El triángulo es rectángulo.

Explanation

El circuncentro se encuentra en el interior si el triángulo es acutángulo, sobre el punto medio de la hipotenusa si es rectángulo y en el exterior si es obtusángulo. Por tanto, estar fuera implica que existe un ángulo obtuso.

Question 44Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares; construcciones y propiedades

Un cuadrilátero tiene las diagonales iguales y perpendiculares entre sí. ¿Qué figura es necesariamente?

  1. Un rombo cualquiera.
  2. Un rectángulo cualquiera.
  3. Un rombo con diagonales iguales, es decir, un cuadrado. Correct answer.
  4. Un trapecio isósceles.

Explanation

Diagonales perpendiculares que se bisecan caracterizan al rombo; si además son iguales, los cuatro ángulos son rectos y el rombo se convierte en cuadrado. La combinación de ambas condiciones es más restrictiva que cada una por separado.

Question 45Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares; construcciones y propiedades

Se inscribe un triángulo equilátero en una circunferencia de radio R. ¿Cuánto mide su lado?

  1. R·√3 Correct answer.
  2. R·√2
  3. R
  4. 2R

Explanation

El ángulo central es 120° y la cuerda correspondiente mide 2R·sen(60°) = R·√3. También se obtiene relacionando la altura del triángulo con el radio de la circunferencia circunscrita.

Question 46Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares; construcciones y propiedades

Para construir un triángulo conociendo dos lados a y b y el ángulo comprendido C, ¿qué procedimiento es correcto?

  1. Trazar la bisectriz de C y llevar sobre ella la suma a + b.
  2. Trazar las mediatrices de a y b y cortarlas con el ángulo C.
  3. Situar el ángulo C, llevar sobre sus lados las longitudes a y b y unir los extremos. Correct answer.
  4. Construir primero el circuncentro y después llevar el ángulo C.

Explanation

Conocidos dos lados y el ángulo comprendido, el triángulo queda determinado: se copia el ángulo C con el transportador o por construcciones de ángulos y se llevan sobre sus lados los segmentos a y b desde el vértice. El tercer lado cierra la figura.

Question 47Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares; construcciones y propiedades

En un pentágono regular, ¿qué relación existe entre el lado y la diagonal?

  1. La diagonal es el lado multiplicado por la razón áurea. Correct answer.
  2. La diagonal es el doble del lado.
  3. La diagonal es igual al lado.
  4. La diagonal es el lado multiplicado por √3.

Explanation

En el pentágono regular la diagonal y el lado están en proporción áurea, de modo que d/L = φ ≈ 1,618. Esta relación se aprovecha en la construcción del pentágono a partir del lado mediante la sección áurea.

Question 48Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares; construcciones y propiedades

Se inscribe un cuadrado de lado L en una circunferencia. ¿Cuál es el radio de dicha circunferencia?

  1. L·√3/2
  2. L·√2/2 Correct answer.
  3. L·√2
  4. L/2

Explanation

La diagonal del cuadrado es el diámetro de la circunferencia circunscrita: 2R = L·√2, luego R = L·√2/2. Dicho de otro modo, el radio es la mitad de la diagonal del cuadrado.

Question 49Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares; construcciones y propiedades

En un triángulo cualquiera, la recta de Euler contiene tres puntos notables. ¿Cuáles son?

  1. Circuncentro, incentro y ortocentro.
  2. Ortocentro, baricentro y circuncentro. Correct answer.
  3. Incentro, baricentro y ortocentro.
  4. Incentro, circuncentro y baricentro.

Explanation

La recta de Euler pasa por el ortocentro, el baricentro y el circuncentro, y en ella el baricentro divide el segmento entre ortocentro y circuncentro en razón 2:1. El incentro no pertenece a esa recta salvo en triángulos isósceles.

Question 50Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares; construcciones y propiedades

Al construir un polígono regular de n lados a partir de la circunferencia circunscrita, ¿qué método general permite dividirla en n partes iguales?

  1. Aplicar el método de Tales para dividir el diámetro y trasladar las divisiones por paralelas. Correct answer.
  2. Trazar tangentes paralelas en los extremos de un diámetro.
  3. Unir los puntos medios de los radios consecutivos.
  4. Bisecar repetidamente los arcos hasta obtener n partes.

Explanation

El procedimiento general divide un diámetro en n partes iguales mediante el teorema de Tales y traslada esas divisiones a la circunferencia con rectas paralelas, obteniendo los vértices del polígono. Es aplicable a cualquier n, aunque para algunos valores existen construcciones aproximadas específicas.