Geometría plana: ángulos, proporcionalidad, semejanza, escalas y construcciones fundamentales
La geometría plana no se pregunta de forma aislada en la PAU: sus construcciones son el utillaje con el que se resuelven polígonos, tangencias y hasta secciones diédricas. El bloque evalúa el dominio de regla y compás (trazados exactos, con arcos auxiliares visibles), la proporcionalidad, la semejanza y el manejo riguroso de escalas, incluida la escala gráfica.
Construcciones y ángulos
- Perpendicular a una recta por un punto exterior: arco con centro en el punto que corte a la recta y mediatriz del segmento obtenido.
- Paralela por el método de los arcos (dos puntos a la misma distancia) o por doble perpendicular.
- Ángulos notables: 60º con triángulo equilátero; 30º y 15º por bisectrices; 45º como bisectriz del recto; 90º por mediatriz.
- La trisección exacta de un ángulo cualquiera no es posible con regla y compás; solo casos particulares como 90º o 45º admiten división exacta en tres.
- Arco capaz del segmento AB bajo un ángulo α: centro en la mediatriz, ángulo central 2α. El arco capaz de 90º es la circunferencia de diámetro AB.
Proporcionalidad
- Teorema de Tales: paralelas que cortan a dos secantes determinan segmentos proporcionales.
- Cuarta proporcional (a/b = c/x) y tercera proporcional (a/b = b/x) se construyen con rayo auxiliar y divisiones iguales.
- Media proporcional: x = raíz de a·b, obtenida por el teorema de la altura en un triángulo rectángulo.
- Sección áurea: la parte mayor es media proporcional entre el total y la menor (φ ≈ 1,618).
Semejanza y escalas
La razón de semejanza k multiplica longitudes, k² las superficies y k³ los volúmenes. La escala es E = dibujo/realidad, se expresa 1:E en reducciones y exige unidades homogéneas. Las escalas recomendadas por UNE-EN ISO 5455 son 1:1, 1:2, 1:5, 1:10, 1:20, 1:50, 1:100, 1:200, 1:500 y 1:1000, con ampliaciones 2:1, 5:1 y 10:1. El triángulo universal de escalas construye gráficamente cualquier razón.
Ejemplo resuelto
Media proporcional de a = 4 cm y b = 9 cm.
- Sobre una recta se sitúan consecutivos AB = 4 y BC = 9, con AC = 13.
- Se traza la semicircunferencia de diámetro AC.
- Por B se levanta la perpendicular a AC hasta cortar el arco en P.
- BP = raíz de 4·9 = 6 cm. Razón: el ángulo en P es recto por estar inscrito en un diámetro, y en el triángulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa cumple h² = m·n, es decir BP² = AB·BC.
Errores que restan puntos
- Intercambiar cuarta y tercera proporcional o colocar mal el rayo auxiliar.
- Aplicar la escala invertida o mezclar milímetros y centímetros.
- Ocultar los arcos auxiliares: se corrige la construcción, no solo el resultado.
- Situar el centro del arco capaz fuera de la mediatriz o del lado incorrecto.