Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares
La construcción de polígonos es uno de los ejercicios más rentables y más repetidos: triángulos a partir de datos sueltos, cuadriláteros con diagonales y polígonos regulares conocido el lado o el radio. La PAU valora que el trazado se apoye en propiedades (mediatrices, arco capaz, razón áurea) y no en tanteos a escuadra.
Triángulos
- Tres lados: arcos con centros en los extremos; el triángulo existe solo si cada lado es menor que la suma de los otros dos.
- Dos lados y ángulo comprendido, un lado y dos ángulos adyacentes (arco capaz) o un lado, su altura y un ángulo.
- Puntos notables: circuncentro (mediatrices), incentro (bisectrices), ortocentro (alturas) y baricentro (medianas, a 2/3 del vértice). En el triángulo rectángulo el ortocentro es el vértice del ángulo recto. Circuncentro, baricentro y ortocentro están en la recta de Euler.
Cuadriláteros
- La suma de ángulos interiores es 360º. En el paralelogramo las diagonales se cortan en sus puntos medios y son iguales solo en el rectángulo.
- Con cuatro lados se descompone en dos triángulos; con diagonales y lado se apoya en las propiedades de cada tipo (trapecio isósceles: diagonales iguales).
Polígonos regulares
- Ángulo central 360/n; ángulo interior 180(n−2)/n; número de diagonales n(n−3)/2.
- Hexágono: el lado es igual al radio; el centro es la intersección de los arcos de radio el lado trazados desde A y B.
- Pentágono: la diagonal es φ veces el lado; se construye con la mediatriz del lado y la diagonal llevada con arco.
- Cuadrado: diagonales perpendiculares e iguales; octógono: mediatrices y diagonales del cuadrado inscrito.
- Conocido el radio, cualquier polígono se resuelve dividiendo la circunferencia en n partes con el ángulo central 360/n.
Ejemplo resuelto
Hexágono regular de lado 30 mm y cálculo de su apotema.
- Se dibuja AB = 30 mm.
- Arcos de radio 30 con centros A y B: se cortan en O, centro de la circunferencia circunscrita.
- Con centro O y radio 30 se traza la circunferencia y se llevan cuerdas consecutivas de 30 mm.
- Apotema: a = (lado·raíz de 3)/2 = 30·0,866 = 25,98 mm. Comprobación: área = perímetro · apotema / 2 = 180 · 25,98 / 2 = 2338 mm², coherente con seis triángulos equiláteros de 30 mm de lado.
Errores que restan puntos
- Confundir baricentro, ortocentro y circuncentro, o dibujar el incentro con mediatrices.
- Construir un triángulo con lados que no cumplen la desigualdad triangular.
- Usar el lado en lugar de la diagonal al construir el pentágono.
- Acumular error al trasladar cuerdas: conviene comprobar el cierre sobre la circunferencia.