Curvas cónicas: elipse, parábola e hipérbola; definición, elementos y trazados
Las cónicas se preguntan por definición y elementos (focos, ejes, asíntotas, directrices) y por trazados por puntos o por haces, además de tangentes. La PAU exige justificar la construcción con la propiedad focal, no solo dibujar la curva.
Definiciones y relaciones métricas
- Elipse: la suma de distancias a los focos es constante, PF + PF' = 2a. Relación fundamental a² = b² + c², con excentricidad e = c/a menor que 1.
- Hipérbola: el valor absoluto de la diferencia de distancias a los focos es constante, |PF − PF'| = 2a. Relación c² = a² + b² y e = c/a mayor que 1; asíntotas con pendiente b/a respecto al eje real.
- Parábola: equidista del foco y de la directriz, PF = d(P, directriz); excentricidad 1; el vértice dista del foco p/2, siendo p el parámetro.
Elementos auxiliares
- Centro, ejes, vértices y focos en elipse e hipérbola; en la parábola solo hay eje, vértice, foco y directriz.
- Circunferencia principal (centro de la cónica, radio a) y circunferencias focales (centro en un foco, radio 2a). La directriz de la elipse e hipérbola se sitúa a a²/c del centro.
- Propiedad óptica: la tangente forma ángulos iguales con los radios vectores en elipse e hipérbola; en la parábola la tangente biseca el ángulo entre el radio vector y la paralela al eje.
Trazados
- Por puntos: se elige una abscisa y se cortan los arcos de radios r1 y r2 que cumplen la suma o la diferencia constante.
- Por haces proyectivos: más rápido y preciso cuando se piden muchos puntos.
- Tangentes desde un punto exterior: se apoya en la circunferencia focal, que corta a la circunferencia de diámetro punto-foco en los puntos de tangencia.
Ejemplo resuelto
Elipse de eje mayor 2a = 80 mm y distancia focal 2c = 48 mm. a = 40 mm, c = 24 mm, luego b = raíz de (40² − 24²) = raíz de 1024 = 32 mm. Excentricidad e = 24/40 = 0,6. Para un punto de abscisa x = 16 mm desde el centro: y = b·raíz de (1 − x²/a²) = 32·raíz de (1 − 0,16) = 32·0,9165 = 29,3 mm. Ese punto equidista 2a de los dos focos, lo que sirve de comprobación.
Errores que restan puntos
- Aplicar a² = b² + c² a la hipérbola (allí es c² = a² + b²).
- Confundir 2a con a, o el radio de la circunferencia focal con a.
- Colocar la directriz en el foco o medirla desde el vértice.
- Trazar la elipse como óvalo de cuatro centros sin justificar los puntos.