Transformaciones geométricas: homología, homotecia, traslación, giro e inversión
Las transformaciones se aplican a dos fines: obtener figuras homólogas dadas ciertas condiciones y resolver problemas de tangencia y lugares geométricos. Los ejercicios típicos piden completar una figura homológica, hallar el centro y la razón de una homotecia, girar una figura o transformar un conjunto por inversión.
Homología plana
- Queda definida por el centro, el eje y un par de puntos homólogos.
- Los puntos homólogos están alineados con el centro; las rectas homólogas se cortan en el eje.
- Rectas límite: lugar de los puntos cuyos homólogos se van al infinito; la distancia del centro a una recta límite y al eje cumple la relación de homología, lo que permite hallar la otra.
- Dos rectas paralelas tienen homólogas que se cortan en un punto de la recta límite de la otra figura.
Homotecia
- Centro O y razón k: OA' = k·OA, con A, O y A' alineados; los lados homólogos son paralelos.
- Con k negativa la figura homotética queda al otro lado del centro (homotecia inversa).
- Es la base para resolver homotecias de circunferencias (centros de homotecia directo e inverso en tangencias).
Traslación, giro, simetría e inversión
- Traslación: vector único; giro: centro y ángulo, con la misma orientación; simetría axial: eje y perpendicularidad conservada; simetría central: equivalente a un giro de 180º.
- Inversión: centro O y potencia k = OA·OA'; los puntos inversos están alineados con O. La inversa de una recta que no pasa por O es una circunferencia que pasa por O, y viceversa; una recta que pasa por O es inversa de sí misma.
- La inversión conserva los ángulos (es conforme) y sirve para transformar tangencias entre circunferencias en tangencias recta-circunferencia.
Ejemplo resuelto
Hallar el centro y la razón de la homotecia que transforma el triángulo ABC en A'B'C'.
- Se unen los pares de vértices homólogos A-A' y B-B'; su intersección es el centro O.
- Se comprueba con el tercer par C-C', que debe pasar por O.
- k = OA'/OA medido sobre la recta; si A' está en el lado opuesto de O respecto de A, la razón es negativa. Comprobación: los lados AB y A'B' deben ser paralelos, condición necesaria de la homotecia.
Errores que restan puntos
- Olvidar el signo de la razón homotética.
- Emparejar mal los vértices homólogos y obtener un centro falso.
- Situar la recta límite del lado equivocado del centro.
- En inversión, no comprobar que el producto de distancias es constante.