Sistema diédrico: proyecciones, pertenencia, intersecciones, paralelismo, perpendicularidad y distancias
El sistema diédrico es el bloque con más peso y más opciones en la PAU. Este apartado agrupa los fundamentos: representación de puntos, rectas y planos, pertenencia, intersecciones, paralelismo, perpendicularidad y medida de distancias en verdadera magnitud.
Representación y pertenencia
- Un punto se define por su cota (distancia al plano horizontal) y su alejamiento (distancia al vertical); la proyección vertical queda sobre la línea de tierra y la horizontal debajo.
- Un punto pertenece a una recta si sus dos proyecciones están en las proyecciones homónimas de la recta.
- Una recta pertenece a un plano si sus trazas están en las trazas homónimas del plano, o si contiene dos puntos del plano.
- Las rectas notables del plano (horizontal, frontal, de máxima pendiente) simplifican pertenencia y abatimientos.
Intersecciones
- Plano-plano: se buscan los puntos donde se cortan las trazas homónimas; la recta intersección pasa por la traza vertical V y la horizontal H obtenidas.
- Recta-plano: se introduce la recta en un plano proyectante auxiliar; la intersección de ese auxiliar con el dado contiene el punto de corte.
- Recta-recta: si se cruzan, el punto de corte debe coincidir en ambas proyecciones.
Paralelismo y perpendicularidad
- Rectas paralelas: proyecciones homónimas paralelas. Plano paralelo a recta: contiene una recta paralela a ella. Planos paralelos: trazas homónimas paralelas.
- Recta perpendicular a plano: sus proyecciones son perpendiculares a las trazas homónimas del plano (teorema de las tres perpendiculares).
- Planos perpendiculares: uno contiene una recta perpendicular al otro.
Distancias
Solo se ven en verdadera magnitud los segmentos paralelos a un plano de proyección. La distancia entre dos puntos se calcula como hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son la verdadera magnitud de la proyección horizontal del segmento y la diferencia de cotas.
Ejemplo resuelto
Distancia de P (cota 40, alejamiento 20) al plano α.
- Por P se traza la recta r perpendicular a α: r' perpendicular a α2 y r perpendicular a α1.
- Se halla la intersección I de r con α mediante un plano auxiliar; I resulta con cota 20 y alejamiento 35.
- La proyección horizontal de PI mide 15 mm en verdadera magnitud y la diferencia de cotas es 20 mm.
- Distancia = raíz de (15² + 20²) = 25 mm.
Errores que restan puntos
- Medir distancias directamente en proyección sin verdadera magnitud.
- Trazar la perpendicular al plano solo en una proyección.
- Confundir cota con alejamiento al nombrar coordenadas.
- No verificar el punto de corte en ambas proyecciones.