Bílaverð: veldislíkan, línulegt líkan og spá út fyrir gögnin
Bílasali í Hafnarfirði á þriggja ára gamlan bíl sem var keyptur nýr fyrir 4.200.000 kr. Nú er hann metinn á 2.850.000 kr. Salinn vill setja verð á fimm ára gamlan bíl af sömu gerð og gefa út spá fyrir átta ára bíl. Seljandinn segir: „Verðið hefur lækkað um 32,1% á þremur árum, það er 10,7% á ári, og við getum bara haldið áfram að draga það frá.“ Framkvæmdastjórinn vill hins vegar nota veldislíkan þar sem verð lækkar um fast hlutfall af verðmæti hvers árs. Kaupandi sem hefur áhuga á fimm ára bílnum býður 2.000.000 kr. Salinn þarf að svara tilboðinu innan viku og ákveða hvort hann setji átta ára bílinn á 600.000 kr. eða 1.500.000 kr. í verðlista. Engar upplýsingar eru um viðhald eða slysaferil bílsins, en hann er af vinsælli gerð og sambærilegir bílar hafa selst á svipuðu verði undanfarna mánuði.
1. Setja upp veldislíkan V(t) = V0 · b^t, finndu árlega lækkun og mettu hvort talan 10,7% sé rétt eða hvort verið sé að rugla saman mismunandi stærðum.
Read the worked answer
1. Líkanið. V0 = 4.200.000, V(3) = 2.850.000. 4.200.000 · b³ = 2.850.000 b³ = 2.850.000 / 4.200.000 = 0,678571 b = 0,678571^(1/3) = 0,8788
2. Túlkun. Árlegur stuðull er 0,8788, þ.e. verðið lækkar um 12,1% á ári (af því verði sem bíllinn hefur hvert ár), ekki 10,7%.
3. Prófun á 10,7%. Ef 10,7% væri rétt árleg lækkun: 4.200.000 × 0,893³ = 4.200.000 × 0,7122 ≈ 2.991.000 kr., sem passar ekki við 2.850.000. Talan 10,7 kemur einfaldlega úr 32,1 / 3, þ.e. prósentustig af upphafsverðinu, ekki hlutfall af verðmætinu hverju sinni.
4. Hvers vegna þetta skiptir máli. Að „halda áfram að draga 10,7% frá“ er línulegt líkan í prósentugervi: 4.200.000 − 3 × 450.000. Vandinn er að 10,7% af 4,2 milljónum er allt önnur krónutala en 10,7% af 2,85 milljónum. Sá sem segir „það er 10,7% á ári“ og notar svo fasta krónutölu er í raun að nota línulega afskrift en kalla það prósentu - og blanda saman tveimur líkönum án þess að gera sér grein fyrir því.
2. Berðu saman spá veldislíkansins og hins línulega fyrir fimm og átta ára bíl. Hvort líkanið á salinn að nota í hvort tilfelli, og hvað á hann að gera við tilboðið 2.000.000 kr.?
Read the worked answer
1. Veldislíkanið.
- 5 ár: 4.200.000 × 0,8788⁵ = 4.200.000 × 0,5241 ≈ 2.201.000 kr.
- 8 ár: 4.200.000 × 0,8788⁸ = 4.200.000 × 0,3556 ≈ 1.494.000 kr.
2. Línulega líkanið. Lækkun á ári: (4.200.000 − 2.850.000) / 3 = 450.000 kr.
- 5 ár: 4.200.000 − 2.250.000 = 1.950.000 kr.
- 8 ár: 4.200.000 − 3.600.000 = 600.000 kr.
3. Samanburður.
| Aldur | Veldislíkan | Línulegt | Mismunur |
|---|---|---|---|
| 3 ár | 2.850.000 | 2.850.000 | 0 |
| 5 ár | 2.201.000 | 1.950.000 | 251.000 (11%) |
| 8 ár | 1.494.000 | 600.000 | 894.000 (2,5×) |
Bæði líkönin passa nákvæmlega við gögnin á þriggja ára punktinum - það er einmitt vandinn: tvö líkön, sama gagnapunktur, gjörólíkar spár.
4. Mat á líkönum. Línulega líkanið spáir því að bíllinn verði einskis virði eftir 4.200.000 / 450.000 = 9,33 ár. Það er ekki trúverðugt: tíu ára bíll hefur verðmæti. Veldislíkanið hefur sama vanda í hinni áttinni - það nálgast núll en nær því aldrei, og getur því ofmetið verð mjög gamalla bíla. Á stuttum tíma (5 ár) er munurinn 11%, sem er innan skekkjumarks markaðarins; á löngum tíma er línulega líkanið augljóslega rangt.
5. Ákvörðun.
- Fimm ára bíll: tilboðið 2.000.000 er 9,1% undir veldispánni (2.201.000) en 2,6% yfir línulegu spánni. Það er innan skynsamlegra marka. Ef bíllinn er í góðu standi og sambærilegir hafa selst á svipuðu verði á að taka tilboðinu eða hækka það lítið - ekki hafna því á grundvelli líkans sem spáir 2,2 milljónum.
- Átta ára bíll: 600.000 er byggt á línulega líkaninu og er líklega of lágt; 1.500.000 passar við veldislíkanið. Rétt er að setja verð nálægt 1,4–1,6 milljónum og fylgjast með sölu, ekki 600.000.
3. Hvað spáir veldislíkanið fyrir 12 ára bíl, hver er helmingunartími verðsins, og hvers vegna á að varast þessa spá?
Read the worked answer
1. Spáin. V(12) = 4.200.000 × 0,8788¹² = 4.200.000 × 0,2120 ≈ 890.000 kr.
2. Helmingunartími. 0,8788^t = 0,5 ⇒ t = ln 0,5 / ln 0,8788 = −0,6931 / −0,1293 ≈ 5,4 ár. Það þýðir að bíllinn er kominn í hálft verð eftir rúmlega fimm ár - sem passar ágætlega við 5 ára spána (2,2 af 4,2 milljónum).
3. Hvers vegna varast.
- Fyrir utan gagnasviðið. Öll gögnin liggja á bilinu 0–3 ár. Spá fyrir 12 ár er framreikningur fjórum sinnum lengri en gögnin, og hver smávilla í b margfaldast: ef b er 0,87 í stað 0,8788 fæst 4.200.000 × 0,87¹² ≈ 790.000, þ.e. 100.000 kr. munur.
- Ekkert gólf í líkaninu. Gamlir bílar lækka ekki hlutfallslega að eilífu; verðið staðnar við varahlutavirði eða notagildi.
- Aðstæður breytast. Breytingar á eldsneytisverði, gjöldum, framboði og eftirspurn geta hrundið forsendunni um fast hlutfall.
- Gæði bílsins. Líkanið byggir á einum aldurspunkti og engum upplýsingum um kílómetrafjölda, viðhald eða slys.
4. Hagnýt niðurstaða. Nota veldislíkanið innan 0–8 ára og birta spönn (t.d. ±10%), en ekki eina tölu. Fyrir 12 ára bíl á að segja að líkanið sé óáreiðanlegt og styðjast við markaðsverð sambærilegra bíla. Góð stærðfræðileg ákvörðun felur hér í sér að þekkja mörk líkansins, ekki bara reikna út úr því.