Gestatölur líkamsræktarstöðvar: meðaltal, miðgildi og prósentugildra
Líkamsræktarstöðin Hraði skráir fjölda gesta á dag. Síðustu 14 dagar gáfu: 118, 124, 131, 129, 140, 152, 148, 61, 155, 160, 158, 166, 171 og 174. Dagurinn með 61 gest var dagur með óveðri og skertri opnun. Stjórnin hefur sett markmiðið 150 gestir á dag að meðaltali. Framkvæmdastjórinn segir á aðalfundi: „Meðaltalið er 142, við erum undir markmiðinu og þurfum aðgerðir.“ Markaðsstjórinn hefur hins vegar sett upp plaggat: „Gestum fjölgaði um 185% á tveimur vikum!“ Hann miðar við 61 gest og 174 gesti. Starfsmaður bendir á að fyrri vikan hafi verið 118–148 gestir og seinni vikan 61–174. Stöðin vill ákveða hvort eigi að fjárfesta í nýrri tækjasal fyrir 4,8 milljónir og hvort markmiðið 150 sé raunhæft. Engin gögn eru til um árstíðarsveiflu.
1. Reiknaðu meðaltal og miðgildi. Er fullyrðingin um 142 rétt, og er hún góð lýsing á dæmigerðum degi? Hvaða áhrif hefur það á matið á markmiðinu 150?
Read the worked answer
1. Meðaltal. Summa: 118+124+131+129+140+152+148+61+155+160+158+166+171+174 = 1.987. 1.987 / 14 = 141,93 ≈ 142. Talan er því tölulega rétt.
2. Miðgildi. Röðuð: 61, 118, 124, 129, 131, 140, 148, 152, 155, 158, 160, 166, 171, 174. Miðgildi = (148 + 152) / 2 = 150.
3. Áhrif óveðursdagsins. Án hans: (1.987 − 61) / 13 = 1.926 / 13 = 148,2. Einn dagur lækkar meðaltalið um 6,3 gesti - meira en allur munurinn á 142 og markmiðinu 150. Meðaltal er mjög viðkvæmt fyrir einu öfgagildi í svona litlu úrtaki.
4. Mat. Fullyrðingin er tæknilega rétt en villandi. Hún segir í raun „meðaltalið er 142“ og dregur af því ályktun um að stöðin sé undir markmiði. En miðgildið 150 segir að helmingur daganna hafi verið 150 eða meira, og meðaltal án fráviksins er 148,2. Gögnin benda því frekar til að stöðin sé á eða rétt undir markmiðinu í venjulegri viku, en ekki vel undir.
5. Áhrif á ákvörðun. Að fullyrða að markmiðið 150 sé óraunhæft á grundvelli 142 væri of sterkt. Rétt er að birta bæði meðaltal og miðgildi, taka óveðursdaginn út sérstaklega og safna lengri tímaröð - annars er verið að taka 4,8 milljóna ákvörðun á einni veðurfarslegri tilviljun.
2. Er 185% aukningin rétt reiknuð? Hvaða aðra mælikvarða ætti að nota og hver er raunhæfari lýsing á þróuninni?
Read the worked answer
1. Reikningurinn. 174 / 61 = 2,8525, þ.e. aukning um 185,2%. Reikningslega rétt.
2. Vandinn. Grunnurinn er dagur sem var ekki dæmigerður heldur skerður vegna óveðurs. Að nota lægsta punkt sem viðmið er klassísk aðferð til að stækka prósentuna: sama aukning mæld frá 118 gestum yrði 174 / 118 = 1,475, þ.e. +47,5%.
3. Betri mælikvarðar.
- Vika 1: (118+124+131+129+140+152+148) / 7 = 942 / 7 = 134,6
- Vika 2: (61+155+160+158+166+171+174) / 7 = 1.045 / 7 = 149,3
- Vika 2 án óveðursdags: 984 / 6 = 164,0
4. Raunhæf lýsing.
- Beint milli vikna: 149,3 / 134,6 = 1,109 ⇒ +10,9%.
- Ef óveðursdagurinn er tekinn út: 164,0 / 134,6 = 1,219 ⇒ +21,9%.
Raunhæft svar er því „10–22% aukning eftir því hvernig óveðursdagurinn er meðhöndlaður“ - aldrei 185%. Munurinn á 11% og 185% er ekki smáatriði; hann er mismunurinn á eðlilegri þróun og markaðsbrekku.
5. Hvað mætti segja á plaggatinu. „Meðalfjöldi gesta jókst um 11% milli vikna (22% ef óveðursdagur er undanskilinn) og hefur farið úr 135 í 149 á dag.“ Það er bæði satt og söluhvetjandi. Góð tölfræðileg framsetning þarf ekki að offara til að vera sannfærandi.
3. Dagur er valinn af handahófi úr þessum 14. Hver eru líkindi þess að fjöldinn sé 160 eða meiri? Hver eru líkindi þess að tveir dagar án endurleggingar séu báðir 160 eða meiri - og hvers vegna er sjálfstæðisforsendan vafasöm?
Read the worked answer
1. Ein dagsetning. Dagar með 160 eða meira: 160, 166, 171, 174 ⇒ 4 dagar. P = 4 / 14 = 0,286 ≈ 28,6%.
2. Tveir dagar án endurleggingar. P = (4/14) × (3/13) = 12 / 182 = 0,0659 ≈ 6,6%. Athugið að nefnarinn lækkar í 13 og teljarinn í 3, því fyrsti dagurinn er ekki lengur í boði. Ef reiknað væri með endurleggingu fengist (4/14)² = 8,2%, sem ofmetur líkindi þegar úrtakið er svona lítið. Þetta er algeng villa.
3. Hvers vegna sjálfstæðið er vafasamt.
- Gestafjöldi er háður vikudegi: laugardagur er ekki eins og þriðjudagur. Ef tveir valdir dagar eru báðir laugardagar hækkar líkindi á tveimur fjölmennum dögum mjög.
- Veður og árstíðir hafa áhrif; óveðursdagurinn sýnir það beint.
- Samliggjandi dagar eru líklegri til að vera svipaðir (sama veður, sama herferð).
Þar sem dagarnir eru dregnir af handahófi úr listanum er formúlan rétt miðað við það úrtak, en hún svarar ekki spurningunni „hvað eru líkindi þess að tveir fjölmennir dagar komi í röð?“ - sú spurning krefst annars líkans. Mikilvægt er að greina á milli þess sem er reiknað og þess sem spurt er um; hér er stærðfræðin rétt en líkanið of einfalt fyrir ályktun um reksturinn.