個別指導での展開・平方根の誤答分析
個別指導塾で中学3年生のYさんを担当している。単元は「式の展開と因数分解」「平方根」で、返却した小テスト（10問・20点満点）は12点だった。誤答は次の4つである。①(2x+3)²=4x²+9 ②(x−5)²=x²−25 ③√30の整数部分は6 ④x²−9=(x−3)²。①と②には途中式がなく、④も「2乗を外しただけ」と説明している。③については「30は36に近いから」と話す。正答だった(x+7)(x−7)の問題でも、検算をせずに次の問題へ進んでいた。Yさんは「公式を覚え間違えただけ」と言うが、①と②は同じ型の誤りに見える一方、④は展開と因数分解を混同した別の型とも取れる。①の答案の余白には「たすきがけ？」と書きかけのメモが残っていた。前単元の文字式の計算では分配法則をほぼ正しく使えており、符号の誤りも少なかった。塾の記録には、答え合わせで正誤だけを見て間違い直しをほとんど書いていない様子も残っている。面談では「入試までに35点を取りたい」という目標を共有している。次回の90分授業では、板書とノート指導に20分、類題演習に50分、振り返りに20分を充てる。後半では式の値 x²−4x+1（x=√5+2）を扱う予定で、Yさんは「そのまま代入するしかない」と考えている。使用教材は市販の問題集1冊で、面積図やタイル図はまだ扱っていない。
1. ①と②の誤りに共通する原因を、展開の意味（分配法則または面積図）に基づいて説明せよ。また正しい展開を示し、Yさんが自分で誤りに気づける検算の方法を1つ提案せよ。
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誤りの型（共通点）
①も②も「(a+b)² の2乗を、a² と b² にそのまま配ってしまう」誤りである。(2x+3)² は (2x+3)(2x+3) であり、4つの項をすべて掛け合わせる必要がある。
(2x+3)(2x+3) = 4x² + 6x + 6x + 9 = 4x² + 12x + 9
同様に (x−5)² = x² − 10x + 25。抜けているのは中間項 2ab である。面積図で一辺 2x+3 の正方形を4分割すると 4x²、6x、6x、9 の4部分になり、6x が2つあることが見える。
検算の方法（提案）
展開したら、文字に数を1つ代入して両辺を比べる。x=1 を代入すると (2·1+3)² = 25、4·1²+9 = 13 で一致せず、誤りに気づける。ただし x=0 では両辺とも9になって一致してしまうので、0は避ける。x=10 なら 23² = 529 に対し 4·100+9 = 409 となり、12x の欠落がはっきり出る。
指導への示唆
④の「展開と因数分解の混同」は別の型なので、①・②（中間項の欠落）と④（操作の混同）を分けて扱う。①の余白の「たすきがけ？」は、展開と因数分解の手続きが混ざっている証拠であり、まず「展開は積を和に直す操作」であることを面積図で確認させる。
2. √30 の整数部分と小数部分を求めよ。またYさんが「6」と答えた理由を推測し、数直線または不等式を用いた正しい考え方を説明せよ。
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正しい整数部分と小数部分
5² = 25、6² = 36 なので 25 ≤ 30 < 36、すなわち 5 < √30 < 6。したがって整数部分は5、小数部分は √30 − 5（≈ 0.477）である。
Yさんの誤りの推測
Yさんは「30に近い平方数は36、その平方根は6」と考え、上側の平方数だけを見てしまったと考えられる。整数部分を求める手順は「a をはさむ連続する2つの平方数 n² と (n+1)² を見つけ、小さい方の n を答える」ことであり、√30 は 5 と 6 の間にあるので小さい方の5が正しい。
説明の仕方
数直線に 5、√30、6 を書き、√30 が 25 と 36 の間、つまり 5 と 6 の間にあることを視覚的に確認させる。さらに √30 ≈ 5.48 と近似値を出させ、5.48 の整数部分が5であることを確かめると納得しやすい。「30に近い」という感覚ではなく、はさむ2つの平方数を必ず両方書く手順を定着させる。
3. x = √5 + 2 のとき x² − 4x + 1 の値を求めよ。直接代入する方法と式変形する方法を比べ、なぜ変形が有効なのかを説明せよ。
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直接代入
x² = (√5+2)² = 5 + 4√5 + 4 = 9 + 4√5、−4x = −4√5 − 8。よって
x² − 4x + 1 = (9+4√5) + (−4√5−8) + 1 = 2
式変形
x = √5 + 2 より x − 2 = √5。両辺を2乗して (x−2)² = 5、すなわち x² − 4x + 4 = 5。ここから x² − 4x = 1 を得て、与式 = 1 + 1 = 2。（別解：(x−2)² − 3 = 5 − 3 = 2）
変形が有効な理由
直接代入では (√5+2)² の展開と 4√5 の項の整理という2段階の計算が必要で、符号や係数の誤りが入りやすい。一方、x−2 = √5 という関係を使えば無理数の項が消え、計算は整数だけで済む。また x²−4x+1 は (x−2)²−3 と平方完成でき、x がどんな無理数でも同じ手順が使える。
Yさんへの指導
「x = a + √b の形なら、まず x − a = √b と移項する」という見方を練習させる。直接代入と変形の両方で同じ2になることを確認させ、計算の少ない道を選ぶ感覚を持たせる。