Miyazaki Entrance Mathematics case studies
Miyazaki Entrance Mathematics · Put your knowledge to work in context.
Miyazaki Prefectural High School Entrance Examination - Mathematics (宮崎県立高等学校入学者選抜 数学) is the mathematics paper inside the multi-subject entrance examination used by Miyazaki public high schools to select applicants from junior high school. It is written in Japanese and is intended for students finishing the Japanese junior high curriculum (中学校) who are applying to prefectural high schools, including those aiming at academic, industrial, commercial, and other courses. The paper tests the full junior-high mathematics curriculum: numbers and algebraic expressions, equations and inequalities, functions (linear, inverse proportion, quadratic), plane geometry including congruence, similarity, and circles, data use and probability, and the ability to explain mathematical reasoning in writing. Because the exam is constructed-response rather than multiple-choice, partial credit depends on clear working, correct use of notation, and explanations that state the reason for a claim rather than only the result. Topics on this exam: 数と式 (Numbers and Algebraic Expressions), 方程式と不等式 (Equations and Inequalities), 関数 (Functions: linear, inverse proportion, quadratic), 図形 (Geometry: plane figures, congruence, similarity, circles), 資料の活用・確率 (Data Use and Probability), and 数学的な見方・考え方と記述・説明 (Mathematical Reasoning and Written Explanation). The Miyazaki Entrance Mathematics case studies are 5 cases and about 900 words.
1個別指導での展開・平方根の誤答分析
個別指導塾で中学3年生のYさんを担当している。単元は「式の展開と因数分解」「平方根」で、返却した小テスト（10問・20点満点）は12点だった。誤答は次の4つである。①(2x+3)²=4x²+9 ②(x−5)²=x²−25 ③√30の整数部分は6 ④x²−9=(x−3)²。①と②には途中式がなく、④も「2乗を外しただけ」と説明している。③については「30は36に近いから」と話す。正答だった(x+7)(x−7)の問題でも、検算をせずに次の問題へ進んでいた。Yさんは「公式を覚え間違えただけ」と言うが、①と②は同じ型の誤りに見える一方、④は展開と因数分解を混同した別の型とも取れる。①の答案の余白には「たすきがけ？」と書きかけのメモが残っていた。前単元の文字式の計算では分配法則をほぼ正しく使えており、符号の誤りも少なかった。塾の記録には、答え合わせで正誤だけを見て間違い直しをほとんど書いていない様子も残っている。面談では「入試までに35点を取りたい」という目標を共有している。次回の90分授業では、板書とノート指導に20分、類題演習に50分、振り返りに20分を充てる。後半では式の値 x²−4x+1（x=√5+2）を扱う予定で、Yさんは「そのまま代入するしかない」と考えている。使用教材は市販の問題集1冊で、面積図やタイル図はまだ扱っていない。. ①と②の誤りに共通する原因を、展開の意味（分配法則または面積図）に基づいて説明せよ。また正しい展開を示し、Yさんが自分で誤りに気づける検算の方法を1つ提案せよ。. √30 の整数部分と小数部分を求めよ。またYさんが「6」と答えた理由を推測し、数直線または不等式を用いた正しい考え方を説明せよ。. x = √5 + 2 のとき x² − 4x + 1 の値を求めよ。直接代入する方法と式変形する方法を比べ、なぜ変形が有効なのかを説明せよ。.
235 words, about 1 min2模擬店の利益計画と発注数の決定
文化祭でクラス企画のクレープ店を出す。生徒会の規定では、材料費は1個あたり80円、ガス代や看板代などの固定費は売れても売れなくても3000円かかる。販売価格は1個250円に決めた。クラスの目標は「利益20000円以上」で、利益は（売上）−（材料費＋固定費）と定義する。材料は10個単位でしか発注できず、売れ残った分は廃棄するので材料費は戻らない。当日の追加発注もできず、売れ残りの返金もない。昨年の同じ企画の記録では、販売個数は130個から160個の範囲に収まっていた。担当のAさんは 250x − 80x − 3000 ≥ 20000 という不等式を立て、x ≥ 135.29…を経て「135個以上売ればよい」と結論した。Aさんは数学が得意だが、不等式の答えを整数に直す場面が苦手だと本人が話している。クラス会では、この結論の正しさと、発注数をいくつにするかが議題になっている。値引き販売は行わず、発注数の上限は160個とする。当日は11時から15時まで販売し、購入制限は設けない。クラスには予備費が5000円あり赤字の補填に充てられるが、担任からは「赤字だけは避けるように」と指示が出ている。. 不等式を解いて目標達成に必要な販売個数を求めよ。Aさんの結論「135個以上」が誤りである理由も、整数の扱いに触れて説明せよ。. 立式 販売個数を x 個とすると、売上 250x、材料費 80x、固定費 3000。利益 = 250x − 80x − 3000 = 170x − 3000。 170x − 3000 ≥ 20000 → 170x ≥ 23000 → x ≥ 23000/170 = 135.29… 整数の扱い 販売個数は整数なので、x ≥ 135.29… を満たす最小の整数は136。よって136個以上売ればよい。 Aさんの誤り x ≥ 135.29 は「135.29以上」であり、135はこの範囲に入らない。確かめると135個の利益は 170×135 − 3000 = 22950 − 3000 = 19950 円で、目標に50円足りない。不等式の解を整数に直すときは、境界を含むかどうかを確かめたうえで切り上げる必要がある。 指導のポイント 「x ≥ 135.29 だから135」と切り捨てるのは、不等号の向きと整数条件を取り違えた典型的な誤り。求めた値の前後（135と136）を必ず式に戻して検算する習慣をつけさせる。. 発注数ごとの必要販売個数 発注数を n 個とすると費用は 80n + 3000。250x − (80n+3000) ≥ 20000 を満たす最小の整数 x を求める。 n=140：費用 14200 → 250x ≥ 34200 → x ≥ 136.8 → 137個 n=150：費用 15000 → 250x ≥ 35000 → x ≥ 140 → 140個 n=160：費用 15800 → 250x ≥ 35800 → x ≥ 143.2 → 144個 実績130〜160個との関係 140個発注なら137個以上、150個発注なら140個以上、160個発注なら144個以上が必要になる。発注を増やすほど、目標達成のハードルは上がる。 下振れしたとき 130個しか売れなかった場合の利益は、n=140で 32500−14200 = 18300円、n=150で17500円、n=160で16700円。いずれも赤字ではないが目標には届かず、発注が多いほど落ち込みが大きい。 機会損失 逆に140個発注で160個の需要があっても140個しか売れず、1個あたりの限界利益 250−80 = 170円が20個分、つまり3400円の利益機会を失う。 判断 目標達成を優先するなら150個、下振れリスクと機会損失のバランスをとるなら140個が妥当。いずれにせよ「必要販売個数が昨年の実績レンジのどこに位置するか」を数値で示して選ぶべきで、感覚だけで決めるのは避ける。.
185 words, under 1 min3体育館の壁を使った長方形ブースの最大面積
文化祭で体育館の屋内展示ブースを作る。ロープを張って長方形の区画を作り、体育館の壁を長方形の1辺として利用する。ロープの長さは24mで、壁に平行な辺をx m、壁に垂直な辺をy mとする。体育館の壁は、ステージ入口の関係で使えるのが最大8mまでであり、xは8以下でなければならない。また、来場者が列を作れるよう、壁に垂直な辺は3m以上とする。準備会では「x=12のとき面積が最大の72m²になる」という計算を示した生徒がいたが、そのxは壁の長さの条件を満たしていない。昨年は区画が狭く展示物が入りきらなかったため、今年は面積を広げたい。y=(24−x)/2 という関係はすぐに導けたが、xの変域を確認せずに頂点のx座標だけを答える生徒が複数いた。区画の形は長方形に限定し、壁とロープの接続部分の長さは無視できるものとする。検討用のメモにはx=6、x=8、x=10の3案が並んでいる。数学担当の教員は、答えだけでなく「なぜそのxで最大になるのか」を説明させる方針を示している。. yをxで表し、xの変域を求めよ。複数の条件のうち、どれが実際に効いているのかも説明せよ。. 面積Sをxの式で表し、最大値とそのときのxを求めよ。「x=12で最大72m²」という答えが誤りである理由も説明せよ。. 面積を54m²以上にするには、xをどの範囲にすればよいか。式とグラフの両方を用いて説明せよ。.
236 words, about 1 min4相似を使った校舎の高さ測定と3班の値の突き合わせ
中学3年生が校舎の高さを測る校外学習を行った。校舎は平地に建っており、屋上まで届く巻尺はない。3つの班がそれぞれ別の方法で測った。1班は影を使い、地上に垂直に立てた1.50mの棒の影が1.20m、同じ時刻に測った校舎の影が9.60mだった。記録には「太陽の高さは時間で変わるので、棒と校舎の影は同時に測った」とメモがある。2班は鏡を使い、校舎の壁から10.0m離した鏡の上に屋上が写る位置に立ち、鏡から自分のつま先までが1.20m、目の高さが1.50mだった。3班は1班と同じ影の方法を使ったが、校舎の影が植え込みで途切れていたため、影の先端を地面のマークで代用し、9.20mと記録した。3班の値だけ他より小さくなっている。各測定は巻尺1本で1回ずつ行われ、地面はほぼ水平である。数学の担当教員は「どの方法も相似を使っているが、前提としている条件が違う」とだけ助言した。最後に、クラス全体で校舎の高さを1つの値にまとめて報告することになった。報告値は小数第1位までとする。. 相似の根拠 棒とその影、校舎とその影がつくる2つの直角三角形を考える。太陽光線は非常に遠方から来るので平行とみなせ、地面は水平なので、次の2組の角が等しい。 棒と地面、校舎と地面がつくる直角 光線と地面のなす角（同位角） 2組の角がそれぞれ等しいので、2つの三角形は相似である。 計算 1.50 : h = 1.20 : 9.60 1.20h = 1.50 × 9.60 = 14.4 h = 12.0 m 前提 「棒と校舎の影を同時に測る」「地面が水平」「影が途中で遮られず最後まで地面に落ちている」の3つが必要。1班は同時測定を記録しているので、この前提は満たされていると判断できる。. 相似になる三角形 鏡の位置をM、自分の目をE、つま先をF、校舎の屋上をA、校舎の壁の足元をBとする。 鏡の面で光が反射するとき入射角と反射角が等しいので ∠EMF = ∠AMB 人は地面に垂直に立ち、校舎の壁も垂直なので ∠EFM = ∠ABM = 90° 2組の角が等しいので △EFM ∽ △ABM。 計算 EF : AB = FM : BM → 1.50 : h = 1.20 : 10.0 1.20h = 15.0 → h = 12.5 m 誤差の要因 この計算は「鏡の高さを0とみなす」「鏡が水平に置かれている」「入射角＝反射角が正確に成り立つ」ことを前提にしている。実際の鏡には厚みや高さがあるため、目の高さから鏡の高さを引いて考える必要があり、12.5mはやや過大に出やすい。また壁までの距離を壁の中心まで測っているなら、その分もずれる。. 3班の値 1.50 : h = 1.20 : 9.20 より 1.20h = 13.8、h = 11.5 m。 食い違う理由 1.
100 words, under 1 min5サイコロゲームの当選確率と景品数の見積もり
生徒会の模擬店で、来場者が参加するサイコロゲームを企画している。1回につき1人が2個のサイコロを同時に振り、出た目の和が7以上なら景品を渡す。サイコロは1〜6の目が等しい確率で出るものとする。ゲームは1日だけで、参加は1人1回までとする。景品は1個120円で、予算は15000円である。景品が足りなくなった場合の代替品は用意できない。景品の数は、過去の文化祭の来場者数の記録（165人、205人、195人、250人、235人、180人）をもとに見積もる。この記録は雨天の年を含み、屋外企画が中止になって来場者が減ったと考えられている。実行委員のBさんは「当たるのは半分くらいだから、来場者の半分の景品を用意すればよい」と主張しているが、根拠は示していない。一方で、景品の予算には限りがあり余らせたくないという意見もあり、当選確率が高すぎて列が進まないという指摘もある。生徒会からは「当選確率を3分の1程度にしたい」という要望が出ている。和の場合の数を数えた表を作った生徒もいるが、確認できる時間は10分しかない。. 2個のサイコロの目の和が7以上になる確率を、表または樹形図を用いて求めよ。Bさんの「半分くらい」という見方は妥当といえるか。. 数え上げ 2個のサイコロの目の組は6×6＝36通りで、すべて同様に確からしい。和が7以上になる組を数える。 和7：(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) の6通り 和8：5通り、和9：4通り、和10：3通り、和11：2通り、和12：1通り 合計 6+5+4+3+2+1 = 21通り。 確率 21/36 = 7/12 ≈ 0.583。約58%である。 Bさんの見方の検討 方向としては外れていないが、1/2ではなく7/12で、8ポイント以上高い。余事象（和が6以下）は15/36＝5/12で、外れる確率のほうが低い。200人来場とすると当選者は約117人で、半分の100個では17個不足する。「半分くらい」を根拠に発注するのは危険で、36通りの数え上げで確かめるべきである。.
144 words, under 1 min