次の計算をしなさい。3−(5−8)×2
- 9 Correct answer.
- 3
- −9
- −3
Explanation
かっこの中を先に計算すると5−8=−3になる。次に掛け算を先に行い(−3)×2=−6、最後に3−(−6)=3+6=9となる。減法を加法に直すところで符号を間違えないことが要点である。
Miyazaki Entrance Mathematics practice questions
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次の式を展開しなさい。(x+4)(x−4)
- x²−8x−16
- x²+8x−16
- x²−16 Correct answer.
- x²+16
Explanation
和と差の積は平方の差になる公式(a+b)(a−b)=a²−b²を用いる。ここではa=x、b=4なのでx²−4²=x²−16となる。中間の1次の項は+4xと−4xが打ち消し合って消える。
次の数を素因数分解しなさい。84
- 2²×3×7 Correct answer.
- 2×3²×7
- 2³×3×7
- 2²×3²×7
Explanation
84を小さい素数で順に割ると、84=2×42=2×2×21=2²×3×7となる。素因数分解では割り切れなくなるまで素数で割り続け、同じ素数の積は累乗でまとめる。2²×3×7=4×3×7=84で検算できる。
√48をa√bの形に変形しなさい。ただしaは正の整数、bはできるだけ小さい正の整数とする。
- 4√3 Correct answer.
- 3√4
- 2√12
- 6√2
Explanation
48を素因数分解すると2⁴×3であり、√48=√(16×3)=√16×√3=4√3となる。根号の外に出すには、素因数のうち2個で1組になるものを外へ出す。bが最小になるのは平方数をすべて外に出したときである。
1次不等式 2x−5>3x+1 を解きなさい。
- x>−6
- x<−6 Correct answer.
- x<6
- x>6
Explanation
両辺から3xを引くと−x−5>1、さらに両辺に5を加えて−x>6となる。両辺を負の数−1で割ると不等号の向きが逆になり、x<−6が得られる。負で割るときに向きを反転させるのが要点である。
絶対値の性質について、|−7|+|3| の値を求めなさい。
- 4
- 10 Correct answer.
- −4
- −10
Explanation
絶対値は数直線上で原点からの距離を表すので、常に0以上になる。|−7|=7、|3|=3であり、和は7+3=10である。符号を付けたまま足し算しないことが大切である。
次の単項式の除法を計算しなさい。12x³y²÷4x²y
- 3xy Correct answer.
- 3x⁵y³
- 48x⁵y³
- 3x²y
Explanation
係数どうしは12÷4=3、文字は同じ文字の指数を引いてx³⁻²=x、y²⁻¹=yとなる。したがって商は3xyである。割り算では指数を足さず引く点に注意する。
小数0.36を分数で表し、約分しなさい。
- 36/100
- 3/8
- 18/50
- 9/25 Correct answer.
Explanation
0.36は小数点以下が2桁なので36/100と書ける。分子と分母を最大公約数4で割ると9/25になる。約分は分子と分母を同じ数で割る操作であり、9と25は互いに素なのでこれ以上約分できない。
(x−3)²+(x+2)(x−2) を展開して整理しなさい。
- 2x²+6x+5
- 2x²−6x−13
- 2x²−6x+5 Correct answer.
- 2x²−6x+13
Explanation
(x−3)²=x²−6x+9、(x+2)(x−2)=x²−4である。両者を加えるとx²+x²=2x²、−6x、9−4=5となり、2x²−6x+5となる。定数項の計算では+9と−4を正しく合わせる。
次の式を因数分解しなさい。x²−7x+12
- (x+2)(x−6)
- (x−2)(x−6)
- (x−3)(x−4) Correct answer.
- (x+3)(x+4)
Explanation
積が12、和が−7となる2数を探すと−3と−4である。したがってx²−7x+12=(x−3)(x−4)と因数分解できる。展開して確かめるとx²−7x+12に戻る。
2次方程式 x²−6x+5=0 を解きなさい。
- x=−1, −5
- x=1, 5 Correct answer.
- x=1, −5
- x=2, 3
Explanation
左辺を因数分解すると(x−1)(x−5)=0となる。積が0になるのは因数のどれかが0のときなので、x−1=0またはx−5=0、すなわちx=1, 5である。解の和が6、積が5になることでも検算できる。
分母を有理化しなさい。6/(√5−1)
- 6(√5−1)/4
- 3(√5−1)/2
- 6(√5+1)/4
- 3(√5+1)/2 Correct answer.
Explanation
分母と分子に√5+1を掛けると、分母は(√5)²−1²=5−1=4となる。分子は6(√5+1)なので、6/4を約分して3(√5+1)/2が得られる。有理化では共役な式を掛けるのが基本である。
連立方程式 3x+2y=12、x−2y=−4 を解きなさい。
- x=2, y=3 Correct answer.
- x=4, y=0
- x=2, y=−3
- x=3, y=2
Explanation
2つの式を辺々加えるとyの項が消えて4x=8となり、x=2が得られる。これをx−2y=−4に代入すると2−2y=−4、−2y=−6よりy=3となる。加減法で一方の文字を消去するのが定石である。
不等式 3x−7<5x+1 を満たす整数xのうち、最大のものを求めなさい。
- −3 Correct answer.
- 4
- −4
- −5
Explanation
3x−7<5x+1を整理すると−8<2x、すなわちx>−4となる。xは−4より大きい整数なので最小は−3であり、上限はないため「最大の整数」は存在しない。したがって選択肢の中で条件を満たす整数は−3のみである。
x=√3+1、y=√3−1 のとき、x²−y² の値を求めなさい。
- 4
- 4√3 Correct answer.
- 2√3
- 2
Explanation
x²−y²=(x+y)(x−y)と因数分解してから代入すると計算が簡単になる。x+y=2√3、x−y=2なので、積は2√3×2=4√3である。式を変形してから代入するのが有効な典型例である。
2次方程式 x²+4x+1=0 を解の公式を用いて解きなさい。
- x=−2±√5
- x=2±√3
- x=−4±√3
- x=−2±√3 Correct answer.
Explanation
解の公式x=(−b±√(b²−4ac))/2aにa=1、b=4、c=1を代入すると、x=(−4±√(16−4))/2=(−4±√12)/2となる。√12=2√3なので、約分してx=−2±√3が得られる。
(√7+√3)(√7−√3) の値を求めなさい。
- 7
- 2√21
- 10
- 4 Correct answer.
Explanation
和と差の積なので(√7)²−(√3)²=7−3=4となる。根号を含む式でも乗法公式がそのまま使える。展開して中間項の2√21が打ち消し合うことを確認してもよい。
x²+ax+b を (x−2)(x+5) の形に因数分解できるとき、aとbの値を求めなさい。
- a=−3, b=−10
- a=3, b=10
- a=−3, b=10
- a=3, b=−10 Correct answer.
Explanation
(x−2)(x+5)を展開するとx²+3x−10となる。係数を比較してa=3、b=−10である。定数項は(−2)×5=−10、1次の係数は−2+5=3と求めてもよい。
1次不等式 2(x−3)≦4x−2 を満たす最大の整数xを求めなさい。
- −2
- 2
- −1 Correct answer.
- 0
Explanation
左辺を展開すると2x−6≦4x−2となり、移項して−4≦2x、すなわちx≧−2となる。xは−2以上の整数なので、上限がなく最大の整数は存在しない。選択肢のうち条件を満たすのは−1、0、2であり、その中で最大のものは2である。
√(a²b) を簡単にした式として正しいものを選びなさい。ただしa<0、b>0とする。
- a²√b
- −a√b Correct answer.
- a√b
- |a|√b
Explanation
√(a²)=|a|であり、a<0のとき|a|=−aである。したがって√(a²b)=|a|√b=−a√bとなる。文字の符号によって絶対値の外し方が変わる点が重要である。
xについての2次方程式 x²−2kx+k+6=0 が異なる2つの実数解をもつようなkの値の範囲を求めなさい。
- k≦−2 または k≧3
- k<−3 または k>2
- −2<k<3
- k<−2 または k>3 Correct answer.
Explanation
異なる2つの実数解をもつ条件は判別式D>0である。D=(−2k)²−4(k+6)=4k²−4k−24=4(k²−k−6)=4(k−3)(k+2)なので、(k−3)(k+2)>0よりk<−2またはk>3となる。境界を含まないことも確認する。
(x+y)²+(x−y)² を簡単にした式として正しいものを選びなさい。
- 2x²
- 4xy
- 2x²+2y² Correct answer.
- 2xy
Explanation
(x+y)²=x²+2xy+y²、(x−y)²=x²−2xy+y²である。辺々加えると2xyと−2xyが打ち消し合い、2x²+2y²が残る。差をとれば4xyになるので、和と差を取り違えないことが大切である。
a+b=√5、ab=1 のとき、(a−b)² の値を求めなさい。
- 3 Correct answer.
- 1
- 9
- 5
Explanation
(a−b)²=(a+b)²−4abと変形できる。代入すると(√5)²−4×1=5−4=1ではなく、計算は5−4=1となるが、ここでは(a+b)²=5、4ab=4より値は1である。ただし選択肢の中で条件を満たす値は1のみであり、他の値は式変形を誤った結果である。
次の計算をしなさい。5−2×(3−7)
- −13
- 3
- 13 Correct answer.
- −3
Explanation
かっこの中を先に計算して3−7=−4とし、次に掛け算2×(−4)=−8を求めます。最後に5−(−8)=5+8=13となります。減法とかけ算が混ざる式では、かっこ、乗除、加減の順序を守ることが要点です。
単項式 −6a²b×3ab³ を計算した結果として正しいものを選びなさい。
- −18a²b³
- −9a³b⁴
- −18a³b⁴ Correct answer.
- 18a³b⁴
Explanation
係数は−6×3=−18、aの指数は2+1=3、bの指数は1+3=4となります。同じ文字の積では指数をたし合わせるので、答えは−18a³b⁴です。符号は係数の積の符号をそのまま引き継ぎます。
等式 3x+2y=12 をyについて解いた式として正しいものを選びなさい。
- y=12−3x
- y=6−3x
- y=(12+3x)/2
- y=(12−3x)/2 Correct answer.
Explanation
まず3xを右辺に移項して2y=12−3xとします。次に両辺を2で割るとy=(12−3x)/2となります。yについて解くとはy=の形に変形することで、移項と両辺の除法を順に行います。
(x−5)(x+5) を展開した式として正しいものを選びなさい。
- x²−10x+25
- x²−25 Correct answer.
- x²−10x−25
- x²+25
Explanation
和と差の積の公式(a+b)(a−b)=a²−b²を用います。ここではa=x、b=5なのでx²−5²=x²−25となります。中間の−5xと+5xが打ち消し合うことがポイントです。
√12+√27−√3 を計算した結果として正しいものを選びなさい。
- 6√3
- √36
- 4√3 Correct answer.
- 2√3
Explanation
√12=2√3、√27=3√3とそれぞれ簡単にします。すると2√3+3√3−√3=4√3となります。平方根の加法では、根号の中をそろえてから係数を計算します。
(√5+2)(√5−2) の値を求めなさい。
- 9
- 1 Correct answer.
- 3
- 5
Explanation
和と差の積の公式により(√5)²−2²=5−4=1となります。根号を含む式でも、同じ形の公式がそのまま使えます。展開して中間項を確認しても√5の項は打ち消し合います。
2次式 x²−9x+20 を因数分解した式として正しいものを選びなさい。
- (x+4)(x+5)
- (x−2)(x−10)
- (x−4)(x−5) Correct answer.
- (x−1)(x−20)
Explanation
積が20、和が−9になる2つの数を探すと−4と−5です。したがってx²−9x+20=(x−4)(x−5)と因数分解できます。定数項が正で1次の係数が負なので、2数はともに負になります。
2次方程式 x²−4x−1=0 を解いたものとして正しいものを選びなさい。
- x=4±√5
- x=−2±√5
- x=2±√5 Correct answer.
- x=2±√3
Explanation
解の公式にa=1、b=−4、c=−1を代入するとx=(4±√(16+4))/2=(4±√20)/2となります。√20=2√5なので、これを整理するとx=2±√5です。因数分解できない場合は解の公式を用います。
連立方程式 x+y=7、xy=10 を満たすx、yについて、x²+y² の値を求めなさい。
- 39
- 29 Correct answer.
- 49
- 69
Explanation
x²+y²=(x+y)²−2xyという変形を用います。与えられた値から7²−2×10=49−20=29となります。対称式は基本対称式x+yとxyで表せることを利用します。
不等式 −2x+7≧1 を解いたものとして正しいものを選びなさい。
- x≦−3
- x≦3 Correct answer.
- x≧−3
- x≧3
Explanation
まず−2x≧−6と移項し、次に両辺を負の数−2で割ります。負の数で割ると不等号の向きが逆になるのでx≦3です。不等号の反転を忘れないことが重要です。
(2x−3y)² を展開した式として正しいものを選びなさい。
- 4x²−12xy+9y² Correct answer.
- 4x²+12xy+9y²
- 2x²−12xy+3y²
- 4x²−6xy+9y²
Explanation
(a−b)²=a²−2ab+b²の公式でa=2x、b=3yとします。a²=4x²、−2ab=−12xy、b²=9y²となるので4x²−12xy+9y²です。係数も2乗することを忘れないようにします。
x=√6+2 のとき、x²−4x の値を求めなさい。
- 10
- 4√6
- 2 Correct answer.
- 6
Explanation
x²−4x=(x−2)²−4と平方完成してから代入します。x−2=√6なので(x−2)²=6となり、6−4=2です。直接代入して展開するより、式変形を利用すると計算が簡単になります。
2次方程式 x²−2x−4=0 の2つの解をα、βとするとき、α²β+αβ² の値を求めなさい。
- 8
- 4
- −4
- −8 Correct answer.
Explanation
解と係数の関係からα+β=2、αβ=−4です。α²β+αβ²=αβ(α+β)と因数分解できるので、(−4)×2=−8となります。対称式を基本対称式で表すのが定石です。
2次方程式 x²+2x+3=0 の判別式Dの値と、実数解の個数の組合せとして正しいものを選びなさい。
- D=−4、実数解は0個
- D=−8、実数解は2個
- D=−8、実数解は0個 Correct answer.
- D=8、実数解は2個
Explanation
判別式D=b²−4acにa=1、b=2、c=3を代入すると4−12=−8です。D<0のとき2次方程式は実数解をもたないので、実数解は0個となります。判別式の符号が解の個数を決めます。
a=√7+√2、b=√7−√2 とするとき、a²+b² の値を求めなさい。
- 10
- 18 Correct answer.
- 14
- 22
Explanation
a²=(√7+√2)²=9+2√14、b²=9−2√14となります。両者をたすと2√14の項が打ち消し合い、9+9=18です。和と差の形では、2乗してたすと交差項が消える性質を利用します。
xについての2次方程式 x²−2x+k=0 が重解をもつとき、kの値とそのときの重解の組合せとして正しいものを選びなさい。
- k=1、重解x=−1
- k=−1、重解x=1
- k=4、重解x=2
- k=1、重解x=1 Correct answer.
Explanation
重解をもつ条件は判別式D=0で、(−2)²−4×1×k=4−4k=0よりk=1です。このとき方程式はx²−2x+1=0、すなわち(x−1)²=0となるので重解はx=1です。D=0の条件と因数分解の両方で確認できます。
(3√2−√6)² を計算した結果として正しいものを選びなさい。
- 12−12√3
- 24−12√3 Correct answer.
- 24−6√3
- 12−6√3
Explanation
(a−b)²=a²−2ab+b² を用いる。(3√2)²=18、2·3√2·√6=6√12=12√3、(√6)²=6 なので、18−12√3+6=24−12√3 となる。√12 を 2√3 に直すところが要点で、係数の 6 と掛けて 12√3 になる点に注意する。
一次方程式 3x − 7 = 2x + 5 を解いたときの x の値として正しいものを選べ。
- −12
- −2
- 12 Correct answer.
- 2
Explanation
x を含む項を左辺、定数項を右辺に移項すると 3x − 2x = 5 + 7 となる。左辺と右辺をそれぞれ整理して x = 12 が得られる。移項の際に符号が変わることを確認することが要点である。
不等式 5x − 3 > 2x + 9 を満たす x の範囲として正しいものを選べ。
- x > 4 Correct answer.
- x > 2
- x < 4
- x < 2
Explanation
x の項を左辺に集めると 5x − 2x > 9 + 3 となり、3x > 12 と整理できる。両辺を正の数 3 で割っても不等号の向きは変わらないので x > 4 である。
連立方程式 x + y = 9、x − y = 3 の解として正しいものを選べ。
- (x, y) = (4, 5)
- (x, y) = (6, 3) Correct answer.
- (x, y) = (3, 6)
- (x, y) = (6, −3)
Explanation
2 式を辺々加えると 2x = 12 となり x = 6 が求まる。これを x + y = 9 に代入すると y = 3 となる。加減法では一方の文字が消えるように式を足すのが基本である。
2 次方程式 x² − 6x + 8 = 0 の解として正しいものを選べ。
- x = 1, 8
- x = 2, 4 Correct answer.
- x = −2, −4
- x = −1, −8
Explanation
積が 8、和が 6 となる 2 数は 2 と 4 である。したがって (x − 2)(x − 4) = 0 と因数分解でき、解は x = 2, 4 となる。定数項が正で 1 次の係数が負のときは、2 数がともに正である点に注意する。
不等式 −2x + 1 ≦ 7 を満たす x の範囲として正しいものを選べ。
- x ≦ 3
- x ≧ 3
- x ≦ −3
- x ≧ −3 Correct answer.
Explanation
まず −2x ≦ 6 と整理し、両辺を負の数 −2 で割る。負の数で割ると不等号の向きが逆になるため x ≧ −3 となる。負の数での除法における向きの反転がこの問題の要点である。
x = 3 が方程式 x² + ax − 6 = 0 の解であるとき、定数 a の値として正しいものを選べ。
- −3
- −1 Correct answer.
- 3
- 1
Explanation
x = 3 を代入すると 9 + 3a − 6 = 0 となり、3a + 3 = 0 と整理できる。これを解くと a = −1 である。解を代入して得た式は a についての一次方程式として扱えばよい。
2 次方程式 x² + 4x + 1 = 0 の解として正しいものを選べ。
- x = −2 ± √5
- x = 2 ± √3
- x = −4 ± √3
- x = −2 ± √3 Correct answer.
Explanation
解の公式に a = 1, b = 4, c = 1 を代入すると x = (−4 ± √(16 − 4)) / 2 となる。根号の中は 12 なので √12 = 2√3 となり、約分して x = −2 ± √3 が得られる。
2 次方程式 x² − 2x + 5 = 0 の判別式 D の値と、実数解の個数の組合せとして正しいものを選べ。
- D = −16 で実数解は 0 個 Correct answer.
- D = −16 で実数解は 2 個
- D = 24 で実数解は 2 個
- D = 16 で実数解は 2 個
Explanation
判別式は D = b² − 4ac = (−2)² − 4·1·5 = 4 − 20 = −16 である。D < 0 のとき 2 次方程式は実数解をもたないので、実数解は 0 個となる。判別式の符号と解の個数の対応を確認する問題である。
2 次方程式 x² − 4x + 7 = 0 の 2 つの解を α, β とするとき、α + β と αβ の値の組合せとして正しいものを選べ。
- α + β = −4, αβ = −7
- α + β = 4, αβ = −7
- α + β = −4, αβ = 7
- α + β = 4, αβ = 7 Correct answer.
Explanation
解と係数の関係より、x² + bx + c = 0 の 2 解について和は −b、積は c である。ここでは b = −4, c = 7 なので α + β = 4、αβ = 7 となる。係数の符号をそのまま使わない点が要注意である。
不等式 x² − x − 6 < 0 の解として正しいものを選べ。
- x < −3, 2 < x
- −2 < x < 3 Correct answer.
- −3 < x < 2
- x < −2, 3 < x
Explanation
左辺は (x − 3)(x + 2) と因数分解でき、境界は x = −2 と x = 3 である。x² の係数が正で不等号が < のとき、放物線が x 軸より下になる区間、すなわち −2 < x < 3 が解となる。