Miyazaki Entrance Mathematics study guide

数と式

宮崎県の公立高校入試では、正負の数・文字式・展開と因数分解・平方根が中心です。計算の正確さに加え、式を目的に応じて変形する力が問われます。式の値や図形の辺の長さを文字で表す問題にもつながるため、単なる暗算ではなく「どの公式を使うか」を判断できるようにします。 累乗と符号: (-3)^2=9 だが -3^2=-9。かっこの有無で結果が変わる。 四則の順序: かっこ → 累乗 → 乗除 → 加減。絶対値は原点からの距離で、 -5 =5。 分配法則: a(b+c)=ab+ac。展開では各項にかける。かっこの前に負号があるときは全項の符号を変える。 乗法公式: (a+b)^2=a^2+2ab+b^2、(a-b)^2=a^2-2ab+b^2、(a+b)(a-b)=a^2-b^2。 因数分解: まず共通因数。x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)。x^2-4=(x+2)(x-2)。 平方根: √(a^2b)=a√b（a 0）。√2+√3 はこれ以上まとまらない。分母の有理化は分母と同じ√をかける。 比例式: a:b=c:d なら ad=bc。 文字式の表し方: 積は数字を前に、商は分数で表す。a×b=ab、a÷b=a/b。 「x=√3+1 のとき、x^2-2x の値を求めよ」。そのまま代入すると計算が重い。x^2-2x=(x-1)^2-1 と変形する。x-1=√3 なので、(√3)^2-1=3-1=2。式を簡単にしてから代入するのがポイントで、展開の公式を逆に使う発想が問われます。 (-2)^2 と -2^2 の混同。 因数分解で共通因数を忘れ、x^2-4 を (x-2)^2 とする。 √12 を 2√3 に直さず、近似値で答える。√2+√3 を √5 とする。 2x+3x=5x と 2x×3x=6x^2 の混同。 かっこを外すとき、前の符号を全項に分配しない（-(x-3)=-x+3）。. 平方根は√(a^2b)=a√bで簡単にし、分母は有理化する。.

方程式と不等式

一次方程式、連立方程式、二次方程式、一次不等式が中心です。文章題では数量関係を式に直し、解が問題の条件に合うか確認する力が問われます。宮崎県では計算処理だけでなく、解き方や立式の理由を説明する問題も出るため、変形の一行ずつを説明できるようにします。 等式の性質: 両辺に同じ数を足す・引く・かける・0でない数で割る。 移項: 符号を変えて反対側へ。両辺を整理してから移項するとミスが減る。 連立方程式: 加減法は係数をそろえて辺々引く。代入法は一方を他方に代入。解は二つの式を同時に満たす。 二次方程式: 因数分解 → 平方根 → 解の公式。ax^2+bx+c=0 の解は x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。 判別式 D=b^2-4ac: D 0 で異なる2解、D=0 で重解、D<0 で実数解なし。 不等式: 両辺に負の数をかける・割ると不等号の向きが逆になる。 文章題: 求めるものをxとおき、単位をそろえ、答えが条件に合うか確認。 「2x-3=5x+6 を解け」。移項して 2x-5x=6+3、-3x=9、x=-3。両辺を-3で割るので符号に注意。検算: 左辺=2(-3)-3=-9、右辺=5(-3)+6=-9で一致。不等式「3x-4 5」なら 3x 9、x 3。負で割る場合は向きが逆になる。 移項で符号を変え忘れる。 不等式で負の数を掛けたとき向きを逆にしない。 連立方程式で辺々を足すとき、定数項を足し忘れる。 二次方程式で因数分解できるのに解の公式を使い、計算ミス。 文章題で「xは人数」なのに負や小数を答える。.

関数

一次関数 y=ax+b、反比例 y=a/x、二次関数 y=ax^2 のグラフと性質が中心です。変化の割合、変域、グラフ上の点、図形との融合が問われます。宮崎県では与えられた条件から式を決定する問題が頻出で、座標や面積を絡めた総合問題にも備えます。 一次関数: 傾きaは変化の割合。切片bはx=0のときのy。2点を通る式は傾き=(y2-y1)/(x2-x1) から求める。 反比例: y=a/x。xy=a が一定。x≠0、グラフは双曲線。比例定数は1点の座標の積で求める。 二次関数: y=ax^2。変化の割合は a(x2+x1)。グラフは放物線で、y軸対称。 変域: 端の値と、グラフの頂点・端点を確認。放物線ではxの範囲の端だけでなく頂点のyも見る。 交点: 二つの式を連立して解く。交点の座標は両方の式を満たす。 「y=ax^2 で、xが1から3まで増えるときの変化の割合が8である。aを求めよ」。変化の割合=(a×3^2-a×1^2)/(3-1)=(9a-a)/2=4a。4a=8 より a=2。公式 a(x2+x1) を使うと a(3+1)=4a と早く求められる。答えの確認として、x=1でy=2、x=3でy=18、増加量16÷2=8で一致。 反比例でx=0を含む変域を考える。 一次関数の切片とx切片を混同。 放物線の変域で、xの範囲の端だけでなく頂点のyを忘れる。 変化の割合を「yの増加量÷xの増加量」でなく単なる傾きと混同。 y=a/x のaを、座標の和で求めようとする。. 一次関数の傾きは変化の割合、切片はx=0のy。.

図形

平面図形の性質、合同・相似の条件、円周角と接線、三平方の定理が中心です。証明問題では条件と結論を結ぶ筋道を書く力が問われます。宮崎県では角度や長さを求める小問と、合同・相似を利用した証明の大問が組み合わされます。 三角形の合同条件: 3辺、2辺とその間の角、1辺とその両端の角。 相似条件: 3組の辺の比、2組の辺の比と間の角、2組の角。 相似比と面積比: 相似比 a:b なら面積比 a^2:b^2、体積比 a^3:b^3。 円周角: 同じ弧に対する円周角は等しい。中心角は円周角の2倍。円に内接する四角形の対角の和は180°。 接線: 接線は接点を通る半径に垂直。 三平方の定理: 直角三角形で a^2+b^2=c^2。斜辺は直角の向かい側。 平行線: 錯角・同位角が等しい。二等辺三角形の底角は等しい。 「円Oで、弧ABに対する中心角が80°のとき、同じ弧に対する円周角∠ACBを求めよ」。円周角の定理より、円周角は中心角の半分。80°÷2=40°。答えは40°。ただし点Cが弧AB上にある場合は別の角になるため、図の位置関係を確認する。証明では「同じ弧に対する円周角」と根拠を明記する。 合同条件で「2辺と1角」の角が間にあるかを確認しない。 相似比をそのまま面積比に使う。 円周角で、どの弧に対する角かを取り違える。 三平方の定理で斜辺と直角をはさむ辺を混同。 証明で対応する頂点の順序を間違える。.

資料の活用・確率

数学的な見方・考え方と記述・説明

宮崎県の入試では、計算結果だけでなく「なぜそうなるか」を式や言葉で説明する問題、証明の穴を埋める問題、条件から結論を導く問題が出ます。結論と根拠を対応させ、読み手が納得できる順序で書く力が問われます。答案は採点者に伝わる文章にします。 説明の型: 結論を先に示し、根拠となる式・定理・条件を続ける。 文字式の利用: 連続する整数は n, n+1、偶数は 2n、奇数は 2n+1 と表す。 証明: 仮定 → 根拠（合同条件・相似条件など）→ 結論。各段階で何を使ったかを書く。 反例: 「いつも成り立つ」を否定するには1つの反例で足りる。 条件整理: 場合分けは漏れなく、重複なく。境界の等号に注意。 式の変形: 一行ごとに等式・不等式の変形理由を添える。 「奇数と奇数の和は偶数になることを説明せよ」。2つの奇数を 2m+1、2n+1（m,nは整数）と表す。和は 2m+1+2n+1=2(m+n+1)。m+n+1 は整数なので、2×整数の形になり偶数。具体例だけでは証明にならない点に注意し、「整数m,nを用いた」という根拠を明記する。 具体例を1つ挙げて「成り立つ」と結論づける。 結論を書かず、計算だけ並べる。 根拠の定理名や条件を書かず、飛躍がある。 場合分けで「x 0」と「x≧0」の境界を重複・脱落させる。 証明で仮定と結論を逆に書く。. 奇数は2n+1、偶数は2nと文字で表す。.