Miyazaki Entrance Mathematics cheat sheet

同類項は文字部分が同じ項であり、係数をまとめて計算する。例: 3x+5x-2x=6x。

分配法則 a(b+c)=ab+ac と (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd を展開の基本とする。

乗法公式: (a+b)^2=a^2+2ab+b^2、(a-b)^2=a^2-2ab+b^2、(a+b)(a-b)=a^2-b^2。

(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab は因数分解の逆操作として使う。

素因数分解は小さい素数から順に割り、√ の簡約や最大公約数・最小公倍数の計算に用いる。

√a×√b=√(ab)、√a÷√b=√(a/b)、分母の有理化は √a に対し分母分子に √a を掛ける。

絶対値 |x| は x≥0 のとき x、x<0 のとき -x であり、数直線上では原点からの距離を表す。

文字式の値は与えられた数を代入する前に、できるだけ簡約してから計算すると誤りが減る。

一次方程式は移項して ax=b の形にし、両辺を a で割って解く。移項すると符号が変わる。

連立方程式は加減法(係数をそろえて辺々を引く)か代入法で1文字を消去して解く。

二次方程式 ax^2+bx+c=0 は因数分解、平方完成、解の公式 x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a) のいずれかで解く。

二次方程式の解の個数は判別式 D=b^2-4ac の符号で決まり、D>0 で2個、D=0 で1個(重解)、D<0 で実数解なし。

不等式の両辺に負の数を掛けたり割ったりすると不等号の向きが逆になる。

連立不等式はそれぞれの解を数直線上に表し、共通部分(重なり)を答えとする。

文章題では求める量を x とおき、単位をそろえて立式し、得られた解が問題の条件に適するか確認する。

二次方程式の解と係数の関係: 解を α, β とすると α+β=-b/a、αβ=c/a が成り立つ。

比例 y=ax のグラフは原点を通る直線で、a は変化の割合(傾き)を表す。

反比例 y=a/x のグラフは双曲線で、x と y の積が常に a に等しく、x 軸・y 軸と交わらない。

一次関数 y=ax+b の傾きは a、切片は b であり、傾きは x が1増えるときの y の増加量である。

変化の割合=(y の増加量)/(x の増加量) で、一次関数では常に一定、二次関数では区間ごとに異なる。

放物線 y=ax^2 は y 軸対称で、頂点は原点、a>0 で下に凸、a<0 で上に凸となる。

関数 y=ax^2 の変域は、x の変域が 0 を含むかどうかで場合分けして最大値・最小値を求める。

2直線が平行 ⇔ 傾きが等しい、垂直 ⇔ 傾きの積が -1 である。

2つのグラフの交点は、2つの式を連立させて得られる方程式の解として求められる。

三角形の合同条件: 3辺相等、2辺とその間の角相等、1辺とその両端の角相等。

三角形の相似条件: 3辺の比が等しい、2辺の比とその間の角が等しい、2組の角がそれぞれ等しい。

相似な図形では対応する辺の比が相似比に等しく、面積比は相似比の2乗、体積比は3乗になる。

円周角の定理: 同じ弧に対する円周角は等しく、その大きさは中心角の半分である。

直径に対する円周角は90°であり、半円の弧に対する円周角も直角になる。

円に内接する四角形では、向かい合う角の和が180°になる。

接線は接点を通る半径に垂直であり、円外の1点から引いた2本の接線の長さは等しい。

三平方の定理 a^2+b^2=c^2 (c は斜辺) は直角三角形の辺の長さや座標平面上の距離の計算に使う。

平均値=資料の値の総和÷資料の個数、中央値=値を小さい順に並べたときの中央の値(偶数個なら中央2つの平均)。

最頻値は最も多く現れる値で、階級に分けた資料では度数が最大の階級の階級値とする。

範囲=最大値-最小値、四分位範囲=第3四分位数-第1四分位数で、データの散らばりを表す。

相対度数=その階級の度数÷度数の合計で、合計は必ず1(または100%)になる。

確率=(ある事象が起こる場合の数)/(すべての場合の数) で、同様に確からしいことが前提である。

場合の数は樹形図や表を書いて数え、順列 nPr と組合せ nCr は順序を区別するかで使い分ける。

余事象の確率は P(A)=1-P(not A) で、少なくとも1つ起こる確率の計算に有効である。

独立な2つの事象がともに起こる確率は、それぞれの確率の積で求められる。

証明は「仮定」「結論」「証明」の構成で書き、仮定から出発して根拠(定義・定理・条件)を明示しながら結論へ導く。

根拠を示す際は「〜だから」「〜より」と理由を伴う文で書き、結論だけを並べない。

反例が1つでも見つかれば命題は偽であり、逆が常に成り立つとは限らないことに注意する。

「すべての」「少なくとも1つ」などの量化の言葉は、否定を作るときに「ある」「すべて」へ入れ替わる。

記述式では、使った文字が何を表すかを最初に定義し、単位や条件(整数である、など)を明記する。

図形の証明では、合同・相似を示してから対応する辺や角が等しいことを述べる順序で書く。

説明問題では結論・理由・計算や図の根拠を順に示し、答案を読み返して論理の飛躍がないか確認する。

数学的な見方として、具体例で規則を予想し、文字式で一般化して正しさを説明する流れが有効である。