模擬店の利益計画と発注数の決定
文化祭でクラス企画のクレープ店を出す。生徒会の規定では、材料費は1個あたり80円、ガス代や看板代などの固定費は売れても売れなくても3000円かかる。販売価格は1個250円に決めた。クラスの目標は「利益20000円以上」で、利益は（売上）−（材料費＋固定費）と定義する。材料は10個単位でしか発注できず、売れ残った分は廃棄するので材料費は戻らない。当日の追加発注もできず、売れ残りの返金もない。昨年の同じ企画の記録では、販売個数は130個から160個の範囲に収まっていた。担当のAさんは 250x − 80x − 3000 ≥ 20000 という不等式を立て、x ≥ 135.29…を経て「135個以上売ればよい」と結論した。Aさんは数学が得意だが、不等式の答えを整数に直す場面が苦手だと本人が話している。クラス会では、この結論の正しさと、発注数をいくつにするかが議題になっている。値引き販売は行わず、発注数の上限は160個とする。当日は11時から15時まで販売し、購入制限は設けない。クラスには予備費が5000円あり赤字の補填に充てられるが、担任からは「赤字だけは避けるように」と指示が出ている。
1. 不等式を解いて目標達成に必要な販売個数を求めよ。Aさんの結論「135個以上」が誤りである理由も、整数の扱いに触れて説明せよ。
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立式
販売個数を x 個とすると、売上 250x、材料費 80x、固定費 3000。利益 = 250x − 80x − 3000 = 170x − 3000。
170x − 3000 ≥ 20000 → 170x ≥ 23000 → x ≥ 23000/170 = 135.29…
整数の扱い
販売個数は整数なので、x ≥ 135.29… を満たす最小の整数は136。よって136個以上売ればよい。
Aさんの誤り
x ≥ 135.29 は「135.29以上」であり、135はこの範囲に入らない。確かめると135個の利益は 170×135 − 3000 = 22950 − 3000 = 19950 円で、目標に50円足りない。不等式の解を整数に直すときは、境界を含むかどうかを確かめたうえで切り上げる必要がある。
指導のポイント
「x ≥ 135.29 だから135」と切り捨てるのは、不等号の向きと整数条件を取り違えた典型的な誤り。求めた値の前後（135と136）を必ず式に戻して検算する習慣をつけさせる。
2. 発注数を140個、150個、160個とするとき、それぞれ目標達成に必要な最低販売個数を求めよ。そのうえで、昨年の実績130〜160個を踏まえ、どの発注数が妥当か、数値を挙げて論じよ。
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発注数ごとの必要販売個数
発注数を n 個とすると費用は 80n + 3000。250x − (80n+3000) ≥ 20000 を満たす最小の整数 x を求める。
- n=140：費用 14200 → 250x ≥ 34200 → x ≥ 136.8 → 137個
- n=150：費用 15000 → 250x ≥ 35000 → x ≥ 140 → 140個
- n=160：費用 15800 → 250x ≥ 35800 → x ≥ 143.2 → 144個
実績130〜160個との関係
140個発注なら137個以上、150個発注なら140個以上、160個発注なら144個以上が必要になる。発注を増やすほど、目標達成のハードルは上がる。
下振れしたとき
130個しか売れなかった場合の利益は、n=140で 32500−14200 = 18300円、n=150で17500円、n=160で16700円。いずれも赤字ではないが目標には届かず、発注が多いほど落ち込みが大きい。
機会損失
逆に140個発注で160個の需要があっても140個しか売れず、1個あたりの限界利益 250−80 = 170円が20個分、つまり3400円の利益機会を失う。
判断
目標達成を優先するなら150個、下振れリスクと機会損失のバランスをとるなら140個が妥当。いずれにせよ「必要販売個数が昨年の実績レンジのどこに位置するか」を数値で示して選ぶべきで、感覚だけで決めるのは避ける。
3. 目標を「利益20000円以上」から「利益率（利益÷売上）が40%以上」に変えた場合、不等式を立てて必要な販売個数を求めよ。二つの目標の違いも説明せよ。
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立式
利益率 = (170x − 3000) ÷ (250x) ≥ 0.4。x > 0 なので両辺に 250x を掛けて
170x − 3000 ≥ 100x → 70x ≥ 3000 → x ≥ 42.86… → 43個以上
確認
x=43 のとき利益 170×43−3000 = 4310円、売上 10750円、利益率 ≈ 0.401 で条件を満たす。x=42 では利益 4140円、売上 10500円、利益率 ≈ 0.394 で届かない。境界の前後を必ず式に戻して確かめる。
二つの目標の違い
固定費3000円は販売個数が増えても変わらないため、売るほど1個あたりに乗る固定費が薄まり、利益率は上がる。そのため「利益率40%」は「利益20000円」よりずっと弱い条件になり、必要な販売個数は43個と136個で大きく異なる。目標を金額で置くか割合で置くかで、発注計画も宣伝の必要性も変わることをクラスで共有すべきである。