体育館の壁を使った長方形ブースの最大面積
文化祭で体育館の屋内展示ブースを作る。ロープを張って長方形の区画を作り、体育館の壁を長方形の1辺として利用する。ロープの長さは24mで、壁に平行な辺をx m、壁に垂直な辺をy mとする。体育館の壁は、ステージ入口の関係で使えるのが最大8mまでであり、xは8以下でなければならない。また、来場者が列を作れるよう、壁に垂直な辺は3m以上とする。準備会では「x=12のとき面積が最大の72m²になる」という計算を示した生徒がいたが、そのxは壁の長さの条件を満たしていない。昨年は区画が狭く展示物が入りきらなかったため、今年は面積を広げたい。y=(24−x)/2 という関係はすぐに導けたが、xの変域を確認せずに頂点のx座標だけを答える生徒が複数いた。区画の形は長方形に限定し、壁とロープの接続部分の長さは無視できるものとする。検討用のメモにはx=6、x=8、x=10の3案が並んでいる。数学担当の教員は、答えだけでなく「なぜそのxで最大になるのか」を説明させる方針を示している。
1. yをxで表し、xの変域を求めよ。複数の条件のうち、どれが実際に効いているのかも説明せよ。
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yをxで表す
ロープは「壁に平行な1辺」と「壁に垂直な2辺」の合計3辺に使う。x + 2y = 24 より
y = (24 − x)/2 = 12 − x/2
条件の整理
- 壁に平行な辺は壁の長さ以下：x ≤ 8
- 壁に垂直な辺は3m以上：12 − x/2 ≥ 3 → x ≤ 18
- 辺の長さは正：x > 0、y > 0（x < 24 で成り立つ）
変域
0 < x ≤ 8。条件2の x ≤ 18 は、条件1の x ≤ 8 のもとでは常に成り立つので、実際に効いているのは x ≤ 8 だけである。
なぜ確認が必要か
変域を確かめずに放物線の頂点だけを答えると、実現できない値を最大値としてしまう。条件を並べ、どれが効いてどれが自動的に満たされるかを見極めることが、この場面の判断の中心になる。
2. 面積Sをxの式で表し、最大値とそのときのxを求めよ。「x=12で最大72m²」という答えが誤りである理由も説明せよ。
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面積の式
S = xy = x(12 − x/2) = −(1/2)x² + 12x = −(1/2)(x − 12)² + 72
頂点と変域
この放物線は上に凸で、頂点は (12, 72)。しかし x=12 は変域 0 < x ≤ 8 に含まれない。
最大値
0 < x ≤ 8 は軸 x=12 より左側なので、S はこの区間で単調に増加する。よって最大は x = 8 のときで、S = 8 × (12−4) = 8 × 8 = 64 m²。
「x=12で72m²」が誤りな理由
平方完成で得た頂点をそのまま答えており、変域を確認していない。x=12 のとき y=6 となり、壁に平行な辺が12m必要になるが、壁は8mまでしか使えない。72m²はこの状況では実現できない値である。
確かめ
x=6 なら y=9 で S=54、x=8 なら y=8 で S=64、x=10 なら y=7 で S=70（変域外）。変域内では右端が最大になると確認できる。
3. 面積を54m²以上にするには、xをどの範囲にすればよいか。式とグラフの両方を用いて説明せよ。
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立式
x(12 − x/2) ≥ 54 → 12x − x²/2 ≥ 54 → 両辺を2倍して 24x − x² ≥ 108 → x² − 24x + 108 ≤ 0
因数分解
(x − 6)(x − 18) ≤ 0 より 6 ≤ x ≤ 18。
変域との合成
もとの変域は 0 < x ≤ 8。共通部分をとって 6 ≤ x ≤ 8。
グラフでの確認
S = −(1/2)(x−12)² + 72 の放物線と直線 S = 54 の共有点は x = 6 と x = 18。放物線が直線より上にあるのは 6 ≤ x ≤ 18 であり、変域で切ると 6 ≤ x ≤ 8 になる。
数値での確かめ
x=6 のとき y=9 で面積54（ちょうど）、x=8 のとき y=8 で面積64、x=5 のとき y=9.5 で面積47.5（不足）、x=10 は壁の条件に反する。境界の x=6 を必ず式に戻して確かめる。