相似を使った校舎の高さ測定と3班の値の突き合わせ
中学3年生が校舎の高さを測る校外学習を行った。校舎は平地に建っており、屋上まで届く巻尺はない。3つの班がそれぞれ別の方法で測った。1班は影を使い、地上に垂直に立てた1.50mの棒の影が1.20m、同じ時刻に測った校舎の影が9.60mだった。記録には「太陽の高さは時間で変わるので、棒と校舎の影は同時に測った」とメモがある。2班は鏡を使い、校舎の壁から10.0m離した鏡の上に屋上が写る位置に立ち、鏡から自分のつま先までが1.20m、目の高さが1.50mだった。3班は1班と同じ影の方法を使ったが、校舎の影が植え込みで途切れていたため、影の先端を地面のマークで代用し、9.20mと記録した。3班の値だけ他より小さくなっている。各測定は巻尺1本で1回ずつ行われ、地面はほぼ水平である。数学の担当教員は「どの方法も相似を使っているが、前提としている条件が違う」とだけ助言した。最後に、クラス全体で校舎の高さを1つの値にまとめて報告することになった。報告値は小数第1位までとする。
1. 1班の方法で、どの三角形とどの三角形が相似といえるか。相似条件を述べたうえで校舎の高さを求め、この方法が成り立つための前提も挙げよ。
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相似の根拠
棒とその影、校舎とその影がつくる2つの直角三角形を考える。太陽光線は非常に遠方から来るので平行とみなせ、地面は水平なので、次の2組の角が等しい。
- 棒と地面、校舎と地面がつくる直角
- 光線と地面のなす角（同位角）
2組の角がそれぞれ等しいので、2つの三角形は相似である。
計算
1.50 : h = 1.20 : 9.60 1.20h = 1.50 × 9.60 = 14.4 h = 12.0 m
前提
「棒と校舎の影を同時に測る」「地面が水平」「影が途中で遮られず最後まで地面に落ちている」の3つが必要。1班は同時測定を記録しているので、この前提は満たされていると判断できる。
2. 2班の方法で相似になる2つの三角形を、記号を用いて具体的に述べよ。そのうえで校舎の高さを求め、この方法に伴う誤差の要因を指摘せよ。
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相似になる三角形
鏡の位置をM、自分の目をE、つま先をF、校舎の屋上をA、校舎の壁の足元をBとする。
- 鏡の面で光が反射するとき入射角と反射角が等しいので ∠EMF = ∠AMB
- 人は地面に垂直に立ち、校舎の壁も垂直なので ∠EFM = ∠ABM = 90°
2組の角が等しいので △EFM ∽ △ABM。
計算
EF : AB = FM : BM → 1.50 : h = 1.20 : 10.0 1.20h = 15.0 → h = 12.5 m
誤差の要因
この計算は「鏡の高さを0とみなす」「鏡が水平に置かれている」「入射角＝反射角が正確に成り立つ」ことを前提にしている。実際の鏡には厚みや高さがあるため、目の高さから鏡の高さを引いて考える必要があり、12.5mはやや過大に出やすい。また壁までの距離を壁の中心まで測っているなら、その分もずれる。
3. 3班の値も計算したうえで、3つの値が食い違う理由を各方法の前提条件の違いから考察し、最終的な報告値をどう決めるか提案せよ。
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3班の値
1.50 : h = 1.20 : 9.20 より 1.20h = 13.8、h = 11.5 m。
食い違う理由
- 1班と3班は「影が地面に最後までまっすぐ落ちている」ことを前提にする。3班は影が植え込みで途切れており、代用のマークが本当の影の先端と一致していない可能性が高い。影を短く見積もった分だけ高さも小さく出る。
- 2班は「入射角＝反射角」「鏡の高さ0」を前提にする。鏡の厚みや目の高さの測り方が、そのまま比の誤差になる。
- 太陽の高さは時間とともに変わるため、棒と校舎の影を同時に測らないと相似の前提が崩れる。1班は同時測定を記録している。
報告値の決め方
3班は前提が崩れているので除外する。残る12.0mと12.5mは約4%の差で、どちらも妥当な範囲だが、同時測定の記録があり、鏡の高さという余分な仮定を置かずに済む1班のほうが信頼できる。最終報告は「約12m」とし、小数第1位まで求めるなら12.0mを採用する。どの前提が満たされているかを理由として添えることが重要で、単純に平均するのは根拠が弱い。