サイコロゲームの当選確率と景品数の見積もり
生徒会の模擬店で、来場者が参加するサイコロゲームを企画している。1回につき1人が2個のサイコロを同時に振り、出た目の和が7以上なら景品を渡す。サイコロは1〜6の目が等しい確率で出るものとする。ゲームは1日だけで、参加は1人1回までとする。景品は1個120円で、予算は15000円である。景品が足りなくなった場合の代替品は用意できない。景品の数は、過去の文化祭の来場者数の記録（165人、205人、195人、250人、235人、180人）をもとに見積もる。この記録は雨天の年を含み、屋外企画が中止になって来場者が減ったと考えられている。実行委員のBさんは「当たるのは半分くらいだから、来場者の半分の景品を用意すればよい」と主張しているが、根拠は示していない。一方で、景品の予算には限りがあり余らせたくないという意見もあり、当選確率が高すぎて列が進まないという指摘もある。生徒会からは「当選確率を3分の1程度にしたい」という要望が出ている。和の場合の数を数えた表を作った生徒もいるが、確認できる時間は10分しかない。
1. 2個のサイコロの目の和が7以上になる確率を、表または樹形図を用いて求めよ。Bさんの「半分くらい」という見方は妥当といえるか。
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数え上げ
2個のサイコロの目の組は6×6＝36通りで、すべて同様に確からしい。和が7以上になる組を数える。
- 和7：(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) の6通り
- 和8：5通り、和9：4通り、和10：3通り、和11：2通り、和12：1通り
合計 6+5+4+3+2+1 = 21通り。
確率
21/36 = 7/12 ≈ 0.583。約58%である。
Bさんの見方の検討
方向としては外れていないが、1/2ではなく7/12で、8ポイント以上高い。余事象（和が6以下）は15/36＝5/12で、外れる確率のほうが低い。200人来場とすると当選者は約117人で、半分の100個では17個不足する。「半分くらい」を根拠に発注するのは危険で、36通りの数え上げで確かめるべきである。
2. 6個の来場者数データから平均値と中央値を求め、来場者数をどう見積もるかを述べよ。その見積もりと当選確率から必要な景品数の目安を計算し、予算との関係も検討せよ。
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データの整理
小さい順に並べる：165, 180, 195, 205, 235, 250。
- 平均値：(165+180+195+205+235+250) ÷ 6 = 1230 ÷ 6 = 205人
- 中央値：(195+205) ÷ 2 = 200人
見積もりの考え方
平均205人と中央値200人はほぼ同じで、極端な外れ値はない。ただし165人と180人は雨天の年で、屋外企画の中止などで減った可能性がある。天気が読めない以上、平均をそのまま使うと過大評価になりやすいので200人前後で見積もり、雨天も想定するなら180人も視野に入れる。
景品数の目安
200人 × 7/12 = 116.7 → 約117個。雨天で180人なら 180 × 7/12 = 105個。余裕を見て120個程度が妥当。
予算との関係
1個120円、予算15000円なので最大 15000 ÷ 120 = 125個。120個なら14400円で予算内。ただし250人来場すると 250 × 7/12 = 145.8 → 146個必要で、146 × 120 = 17520円となり予算を超える。過去最高の250人もあり得る以上、景品数を増やすか、ルール変更で当選確率を下げる必要がある。
3. 当選確率を3分の1程度にするルール変更を、根拠を示して提案せよ。その変更が景品数と予算に与える影響も数値で示せ。
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候補の比較
36通りのうち何通り当たりかを数える。
- 和が8以上：5+4+3+2+1 = 15通り → 15/36 = 5/12 ≈ 0.417（約42%）
- 和が9以上：4+3+2+1 = 10通り → 10/36 = 5/18 ≈ 0.278（約28%）
- 和が10以上：3+2+1 = 6通り → 6/36 = 1/6 ≈ 0.167（約17%）
1/3 = 0.333 に最も近いのは「和が9以上」で、差は約5.6ポイント。「和が8以上」は約8.3ポイント高い。
提案
ルールを「和が9以上」に変更する。当選確率は約28%で3分の1にほぼ近く、判定も一目で分かる。
影響
200人来場なら当選者は 200 × 5/18 = 55.6 → 約56人、景品費は 56 × 120 = 6720円。過去最高の250人でも 250 × 5/18 = 69.4 → 70人分で8400円となり、予算15000円に収まる。景品切れの心配も減り、列も進みやすくなる。
補足
「和が9以上、または和が3」にすると 12/36 = 1/3 ちょうどになるが、例外ルールは説明が煩雑になる。運営のしやすさを優先して「和が9以上」を選ぶのが現実的である。