数と式
数と式の出題範囲
宮崎県の公立高校入試では、正負の数・文字式・展開と因数分解・平方根が中心です。計算の正確さに加え、式を目的に応じて変形する力が問われます。式の値や図形の辺の長さを文字で表す問題にもつながるため、単なる暗算ではなく「どの公式を使うか」を判断できるようにします。
核となる規則
- 累乗と符号: (-3)^2=9 だが -3^2=-9。かっこの有無で結果が変わる。
- 四則の順序: かっこ → 累乗 → 乗除 → 加減。絶対値は原点からの距離で、|-5|=5。
- 分配法則: a(b+c)=ab+ac。展開では各項にかける。かっこの前に負号があるときは全項の符号を変える。
- 乗法公式: (a+b)^2=a^2+2ab+b^2、(a-b)^2=a^2-2ab+b^2、(a+b)(a-b)=a^2-b^2。
- 因数分解: まず共通因数。x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)。x^2-4=(x+2)(x-2)。
- 平方根: √(a^2b)=a√b（a>0）。√2+√3 はこれ以上まとまらない。分母の有理化は分母と同じ√をかける。
- 比例式: a:b=c:d なら ad=bc。
- 文字式の表し方: 積は数字を前に、商は分数で表す。a×b=ab、a÷b=a/b。
例題
「x=√3+1 のとき、x^2-2x の値を求めよ」。そのまま代入すると計算が重い。x^2-2x=(x-1)^2-1 と変形する。x-1=√3 なので、(√3)^2-1=3-1=2。式を簡単にしてから代入するのがポイントで、展開の公式を逆に使う発想が問われます。
失点しやすい点
- (-2)^2 と -2^2 の混同。
- 因数分解で共通因数を忘れ、x^2-4 を (x-2)^2 とする。
- √12 を 2√3 に直さず、近似値で答える。√2+√3 を √5 とする。
- 2x+3x=5x と 2x×3x=6x^2 の混同。
- かっこを外すとき、前の符号を全項に分配しない（-(x-3)=-x+3）。