東大寺までの速さと時間の反比例
奈良市立春日中学校の2年生Sさんは、9時開始の校外学習に参加するため、8時15分に自宅を出る。自宅から東大寺までの道のりは3.6kmで、歩く速さを時速xkm、到着までの時間をy時間とすると、yはxに反比例する。Sさんは徒歩だと時速4kmで歩けるが、途中のレンタサイクルを使えば平均時速12kmで移動できる。集合時刻に遅れないためには、出発から到着までを45分以内にする必要がある。道のりは一定で、信号待ちや乗り降りの時間は考えない。Sさんは「速さが2倍になれば時間は半分になる」と理解しているが、友人のTさんは「速さが1km/h増えると時間も同じだけ減る」と考えている。二人は、速さと時間の関係を表やグラフにして確認することにした。Sさんは数学の授業で反比例を学習したばかりで、式・表・グラフを関連付けて説明する課題が出ている。Tさんは、x=4のときy=0.9、x=5のときy=0.72という値を見て、差が一定でないことに気づき始めた。学校の規則では、自転車はヘルメット着用が必須である。Sさんは徒歩と自転車のどちらでも、集合時刻に間に合うかを比べたい。また、速さを1km/hずつ変えたときの時間の変化を調べ、Tさんの考えが正しいか話し合う。
1. yをxの式で表し、yがxに反比例することを説明しなさい。また、xの変域を書きなさい。
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道のり=速さ×時間なので、3.6=x×y、すなわち y=3.6/x である。
xとyの積が常に3.6で一定なので、yはxに反比例する。xが2倍になればyは1/2になる。
速さは正の値なので、変域は x>0 である。
2. 8時15分発で9時までに着くには、平均時速何km以上必要か。徒歩4km/hと自転車12km/hのそれぞれについて間に合うか答えなさい。
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45分は45/60=0.75時間。到着までの時間yが0.75時間以下であればよい。 y=3.6/x なので、3.6/x≤0.75。x>0より、3.6≤0.75x、x≥3.6/0.75=4.8。
したがって、平均時速4.8km以上必要である。
徒歩4km/hでは、y=3.6/4=0.9時間=54分かかり、9分遅れる。自転車12km/hでは、y=3.6/12=0.3時間=18分で着き、8時33分到着となる。自転車なら間に合う。
3. Tさんの「速さが1km/h増えると時間も同じだけ減る」という考えを、x=4とx=5、x=6の値を用いて反例を示し、正しくないと説明しなさい。
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y=3.6/x の値を比べる。 x=4のとき y=3.6/4=0.9時間=54分。 x=5のとき y=3.6/5=0.72時間=43.2分。 5-4=1km/hの増加で、時間は54-43.2=10.8分減る。
x=6のとき y=3.6/6=0.6時間=36分。 6-5=1km/hの増加で、時間は43.2-36=7.2分しか減らない。
減る時間は一定ではないので、「速さが1km/h増えると時間も同じだけ減る」というTさんの考えは正しくない。y=3.6/xは反比例であり、xの変化に対するyの変化は一定ではない。