Nara Public High School Entrance Examination - Mathematics flashcards

33 cards. Read the term and the definition here. The deck at the top of this page is optional.

分配法則

a(b+c)=ab+ac が成り立つ性質。展開では括弧の外の項を括弧内の各項に漏れなく掛ける。逆に共通因数をくくり出す操作が因数分解の第一手になる。

平方根の有理化

分母に根号がある式を、分母が整数の形に変形すること。1/√a=√a/a を用い、√a+√b が分母なら共役 √a−√b を分子分母に掛ける。

√a² の値

a の正負によって変わる。a≥0 なら √a²=a、a<0 なら √a²=−a となり、まとめて √a²=|a| と表せる。文字の範囲を確認せずに a と書くと誤りになる。

因数分解の基本手順

まず共通因数をくくり出し、次に a²−b² や a²±2ab+b² の公式を当てはめ、最後に x²+(a+b)x+ab の形なら和と積が合う2数を探す。

等式変形の原則

特定の文字について解くには、その文字を含む項を一方の辺に集め、他の項を移項し、最後に係数で両辺を割る。分数がある場合は両辺に分母の最小公倍数を掛ける。

二次方程式の解の公式

ax²+bx+c=0 (a≠0) の解は x=(−b±√(b²−4ac))/(2a)。因数分解できない場合や係数が複雑な場合に使う。b が偶数のときは b=2b' として簡略形を使える。

判別式 D

D=b²−4ac の符号で実数解の個数が決まる。D>0 なら異なる2つの実数解、D=0 なら重解1つ、D<0 なら実数解をもたない。グラフと x 軸の共有点の個数に対応する。

不等式の性質

両辺に同じ数を加減しても不等号の向きは変わらない。正の数を掛けても変わらないが、負の数を掛けたり割ったりすると向きが逆になる。この点が方程式との最大の違い。

連立不等式の解

各不等式を別々に解き、それぞれの解の範囲を数直線に表して共通部分を取る。境界の値が解に含まれるかは ≤ と < の区別で決まる。共通部分がなければ解なし。

変化の割合

(y の増加量)/(x の増加量) で定義される。一次関数 y=ax+b では常に傾き a に等しい。二次関数などでは区間によって値が変わるので、両端の座標から計算する。

反比例の比例定数

y=a/x において xy=a が常に成り立つ。グラフ上の1点の座標がわかれば積を計算して a が決まり、式全体が確定する。a の符号でグラフが位置する象限が決まる。

一次関数のグラフ

y=ax+b は傾き a、切片 b の直線。a>0 で右上がり、a<0 で右下がり。b は y 軸との交点の y 座標を表し、平行な2直線は傾き a が等しい。

変域の求め方

x の変域の両端を式に代入した値だけでなく、グラフが折り返す点(頂点)や端点を含めて y の範囲を判断する。反比例では x の変域が0をまたぐかどうかに注意する。

多角形の内角と外角

n 角形の内角の和は (n−2)×180°、外角の和は n によらず常に360°。三角形の内角の和は180°。三角形の外角は隣り合わない2つの内角の和に等しい。

三角形の合同条件

3組の辺がそれぞれ等しい、2組の辺とその間の角が等しい、1組の辺とその両端の角が等しい、のいずれか。直角三角形では斜辺と他の1辺、斜辺と1鋭角も使える。

三角形の相似条件

3組の辺の比がすべて等しい、2組の辺の比とその間の角が等しい、2組の角がそれぞれ等しい、のいずれか。相似比が k なら面積比は k²、体積比は k³ になる。

三平方の定理

直角三角形の直角をはさむ2辺を a, b、斜辺を c とすると a²+b²=c² が成り立つ。逆も成立し、3辺の関係から直角三角形かどうかを判定できる。

円周角の定理

同じ弧に対する円周角は等しく、中心角の半分に等しい。直径に対する円周角は90°になる。半円の弧に対する円周角が直角になる性質は作図や証明でよく使う。

扇形の弧と面積

半径 r、中心角 a° の扇形で、弧の長さは 2πr×(a/360)、面積は πr²×(a/360)。弧の長さを l とすると面積は (1/2)lr とも表せる。

錐と球の体積

錐の体積は (1/3)×底面積×高さ。球の体積は (4/3)πr³、表面積は 4πr²。柱の体積は底面積×高さで、同じ底面積・高さなら錐は柱の3分の1。

中央値と最頻値

中央値はデータを小さい順に並べたときの中央の値で、個数が偶数なら中央2つの平均。最頻値は最も多く現れる値。平均値は合計を個数で割った値。

四分位数と箱ひげ図

データを小さい順に並べ中央値で二分し、下半分の中央値を第1四分位数 Q1、上半分を Q3 とする。箱ひげ図は最小値・Q1・中央値・Q3・最大値の5点で散らばりを表す。

相対度数

各階級の度数を総度数で割った値。すべての階級の相対度数の合計は1になる。度数が異なる資料どうしを比較するときに用いる。

確率の基本

ある事象の確率は (その事象が起こる場合の数)/(すべての場合の数)。ただし起こりうる場合が同様に確からしいことが前提で、偏りのある場合はこの計算は使えない。

余事象の確率

事象 A が起こらない事象を余事象といい、P(A)=1−P(余事象) が成り立つ。「少なくとも1つ」を求める問題では余事象を考えると計算が簡単になる。

順列と組合せの区別

順序を区別するなら順列 nPr=n!/(n−r)!、区別しないなら組合せ nCr=nPr/r!。選んだものを並べ替えて別事象と数えるかどうかで使い分ける。

証明の書き方

仮定を明確に述べ、用いる図形の性質や条件を根拠として明記しながら、結論へ順に導く。根拠を示さず結論だけを書くと証明として不十分になる。

逆と反例

命題「p ならば q」に対し「q ならば p」を逆といい、逆は常に成り立つとは限らない。成り立たないことを示すには、仮定を満たし結論を満たさない例を1つ挙げればよい。

背理法

示したい結論を否定して仮定し、そこから計算や図形の性質を用いて矛盾を導くことで、元の結論が正しいと結論づける証明法。直接示しにくい命題で有効。

文字を使った整数の表し方

連続する整数は n, n+1、連続する偶数は 2n, 2n+2、連続する奇数は 2n+1, 2n+3 と表す。n を整数と断ることで一般性を保った説明ができる。

動点と関数

点が動く問題では、時間 t に対する各辺の長さを t の式で表し、面積や体積を t の関数として立式する。変域は点が辺上にある範囲から決める。

速さの関係式

距離=速さ×時間、速さ=距離÷時間、時間=距離÷速さ。文章題では単位をそろえ、分と時間の変換を忘れると式が合わなくなる。追いつきは距離が等しいことを利用する。

規則性と n 番目の式

並んだ数や図形について、隣どうしの差や比を調べ、増分が一定なら一次式、増分が増え続けるなら二次式の形で n 番目を表す。得た式に小さい n を代入して検算する。