Nara Public High School Entrance Examination - Mathematics study guide
Nara Public High School Entrance Examination - Mathematics · Work through your exam, one topic at a time.
The Nara Public High School Entrance Examination in Mathematics (奈良県公立高等学校入学者選抜 数学) is the mathematics component of the prefectural selection process that students completing junior high school in Nara take when applying to prefectural public high schools. It is written for candidates finishing the Japanese lower secondary curriculum, including those applying through special quotas, and it assumes the full scope of that curriculum rather than any single textbook. The Nara Public High School Entrance Examination - Mathematics study guide has 7 sections and about 634 words.
01数と式 - 計算の正確さが得点の土台
「数と式」は正負の数・文字式・式の展開と因数分解・平方根までを含む領域で、奈良県の公立高校入試では大問1の小問集合に必ず並び、大問2以降の計算過程の土台にもなる。速く、正確に式を変形できるかがそのまま得点差になる。 累乗は掛け算より先。−3² = −9 だが (−3)² = +9。 除法は逆数の積に直す。6ab ÷ 3a = 2b。分数の形にすると符号ミスが減る。 展開公式：(a+b)² = a²+2ab+b²、(a−b)² = a²−2ab+b²、(a+b)(a−b) = a²−b²、(x+a)(x+b) = x²+(a+b)x+ab。 因数分解は「共通因数 → 公式 → たすきがけ」の順。積が ab、和が a+b になる2数を探す。 平方根：√(a²b) = a√b、分母の有理化は √a/√b = √(ab)/b。√a+√b ≠ √(a+b)。 (√3+√2)² − √24 を計算する。 展開すると (√3)²+2√6+(√2)² = 3+2√6+2 = 5+2√6。 √24 を最も簡単な形に直すと 2√6。よって 5+2√6−2√6 = 5。 「引く前に √24 を 2√6 に直す」のが要点で、近似値で計算すると誤差が残る。 −（かっこ）の展開で、後ろの項だけ符号を変え忘れる。 共通因数をくくり出したあとの残りを書き忘れる（2x²−8 = 2(x²−4) = 2(x+2)(x−2) まで書く）。 √2+√3 を √5 と書いてしまう。 文字式で「×」を省く位置の誤り（a×a = a²、2×a×b = 2ab）。.
98 words, under 1 min02方程式・不等式 - 立式と処理の両方を問う
一次方程式・連立方程式・二次方程式・一次不等式、そしてそれらを使う文章題を扱う領域。奈良県の公立高校入試では「文章から式を立てる段階」と「正しく解く段階」の両方が採点対象になる。 一次方程式：かっこを外す → 分数を整数化する → 文字を左辺、数を右辺に集める。 連立方程式：加減法は係数をそろえて上下を引く。代入法は片方が y = … の形のとき。 二次方程式：ax²+bx+c = 0 はまず因数分解。無理なら解の公式 x = (−b±√(b²−4ac))/2a。 一次不等式：負の数で両辺を掛ける・割ると不等号の向きが逆になる。 3% の食塩水 x g と 8% の食塩水 y g を混ぜて、5% の食塩水 500 g を作る。 x+y = 500 …① 3x/100 + 8y/100 = 5×500/100 = 25 …② ②×100 より 3x+8y = 2500。①から x = 500−y を代入して 3(500−y)+8y = 2500、1500+5y = 2500、y = 200、x = 300。 答えは 3% が 300 g、8% が 200 g。濃度のまま足さず、食塩の量（g）で式を立てるのがコツ。 −2x 6 を x −3 としてしまう（正しくは x < −3）。 解の公式で b が負のときの符号処理、√ の中の計算ミス。 x² = 9 の解を x = 3 だけにして x = −3 を落とす。 文章題で「以上」「未満」の境目の扱い、負の解が出たときの吟味。 加減法で引き算するとき、片方の項だけ符号を変えてしまう。. x² = a の解は x = ±√a と両方書く.
122 words, under 1 min03関数・比例・反比例 - 式・表・グラフの相互変換
比例・反比例から一次関数、y = ax² までを含む領域。奈良県の公立高校入試では、式からグラフを描く、グラフから式を読む、変域や変化の割合を求める、図形と絡める、といった形で出題される。 比例 y = ax は原点を通る直線。反比例 y = a/x は双曲線で、x と y の積は常に a。 一次関数 y = ax+b では、a が傾き（変化の割合）、b が切片。 y = ax² の変化の割合は区間ごとに変わる。x が p から q まで増えるときの変化の割合は a(p+q)。 変域：y = ax² で x の変域に 0 が含まれるとき、y の最小値は 0 になる。 y = 2x−3 と y = −x+6 の交点を求める。 2x−3 = −x+6 より 3x = 9、x = 3。このとき y = 2×3−3 = 3。交点は (3, 3)。 連立方程式として解いても同じ結果になる。傾きの積は 2×(−1) = −2 で −1 ではないから、この2直線は垂直ではない。 変化の割合と傾きを混同する。y = ax² では変化の割合は一定でない。 変域の問題で両端の x だけを代入し、x = 0 で最大・最小になる場合を落とす。 反比例 y = a/x で a の符号と、グラフが位置する象限の対応を間違える。 座標を書くときに x と y を逆にする。. 一次関数の a は傾きであり変化の割合でもある.
132 words, under 1 min04図形 - 合同・相似・円・三平方の定理
平面図形（合同・相似・円）と空間図形（立体の体積・表面積）、そして三平方の定理を含む領域。奈良県の公立高校入試では証明と絡めた出題が多く、定理を「どの場面で使うか」の判断が問われる。 相似条件：3組の辺の比が等しい／2組の辺の比とその間の角が等しい／2組の角が等しい。 相似比 a : b なら面積比は a² : b²、体積比は a³ : b³。 円周角の定理：1つの弧に対する円周角は中心角の半分。直径に対する円周角は 90°。 三平方の定理：直角三角形で a²+b² = c²（c は斜辺）。 円錐の側面積は πrl（r は底面の半径、l は母線）、体積は (1/3)πr²h。 底面の半径 3 cm、母線 5 cm の円錐の表面積を求める。 底面積は π×3² = 9π。側面積は π×3×5 = 15π。表面積は 9π+15π = 24π cm²。 高さは三平方の定理より √(5²−3²) = 4 cm、体積は (1/3)×9π×4 = 12π cm³。表面積と体積を混同しないこと。 相似条件「2組の辺の比とその間の角」を、間の角でない角で使ってしまう。 円周角と中心角を取り違える。弧の長さと面積の公式を混同する。 錐体の体積で 1/3 を忘れる。 三平方の定理で、斜辺でない辺を斜辺として代入する。. 相似比 a:b から面積比 a²:b²、体積比 a³:b³ を導く.
79 words, under 1 min05資料の活用・確率 - 代表値の定義と数え上げ
「少なくとも」は余事象 1−P で計算する.
60 words, under 1 min06数学的な見方・考え方・証明 - 根拠を書く
何を示すかを決める（△ABC ≡ △DEF、∠B = ∠C など）。 2. 「合同な図形の対応する角は等しいので」と結論を結ぶ。 AB = AC の二等辺三角形 ABC で、頂角 A の二等分線と辺 BC の交点を D とすると BD = CD となることを示す。 △ABD と △ACD において、 AB = AC（仮定） ∠BAD = ∠CAD（AD は ∠A の二等分線） AD = AD（共通） 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので △ABD ≡ △ACD。 合同な図形の対応する辺は等しいので BD = CD。 仮定と結論を逆に書き、示すべきことを仮定として書いてしまう。 「共通」の辺・角の記述を忘れる。 合同条件に「3組の辺」と書きながら、実際には2辺しか挙げていない。 逆が成り立つとは限らないのに、逆を使って議論する。 図の見た目で等しいと判断し、根拠を書かない。.
72 words, under 1 min07総合問題・応用 - 規則性と融合問題
関数と図形、規則性、資料と方程式など、複数の領域を組み合わせた問題を扱う。奈良県の公立高校入試では大問の後半に配置され、式を立てて処理する力と、n 番目を一般化する力が問われる。 まず「何が n に伴って変わるか」を表に書き、1番目・2番目・3番目の値の差を見る。差が一定なら一次式、差の差が一定なら2乗の式。 動点の問題は、x の変域で場合分けし、それぞれの区間で面積の式を作る。 関数と図形の融合は、交点の座標 → 辺の長さ → 面積の順に進める。 同じ大きさの正方形を横一列に並べる。1番目は4本、2番目は7本、3番目は10本の棒がいる。n 番目に必要な棒の本数を求める。 1番目と2番目の差は3、2番目と3番目の差も3で一定。よって一次式 3n+b とおける。n = 1 で 3+b = 4 より b = 1。答えは 3n+1 本。 検算として n = 3 を代入すると 3×3+1 = 10 となり、表の値と一致する。 n = 1 で式を確かめず、n = 0 の値を切片にしてしまう。 動点の問題で x の変域を場合分けせず、1本の式で全部を処理しようとする。 面積の単位（cm²）や時間の単位を書き忘れる。 差が一定かどうかを確認せず、規則性を一次式と決めつける。. 求めた式は必ず n = 1, 2, 3 で検算する.
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