Nara Public High School Entrance Examination - Mathematics cheat sheet

分配法則: a(b+c)=ab+ac、展開は各項を漏れなく掛ける。(a+b)(a−b)=a²−b²、(a±b)²=a²±2ab+b²、(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab。

平方根: √(a²b)=a√b (a>0)、√a·√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)。分母の有理化は 1/√a=√a/a、(√a+√b)の共役を掛ける。

√a²=|a| に注意。a<0 のとき √a²=−a。√(A²)=A と書くのは A≥0 のときだけ正しい。

素因数分解は平方根の整理と約数・倍数の判定に使う。√n が整数になるのは n が平方数のとき。

文字式の計算: 同類項をまとめる。多項式の減法は括弧を外すとき全項の符号が変わる。

因数分解の手順: 共通因数 → 公式(a²−b², a²±2ab+b²) → たすき掛け(x²+(a+b)x+ab)。

等式変形: 目的の文字について解くとき、その文字を含む項を一方に集めてから係数で割る。

絶対値と場合分け: |x| は x≥0 で x、x<0 で −x。文字を含む式では範囲を確認して場合分けする。

一次方程式: 両辺に同じ数を加減・乗除しても等式は保たれる。移項は両辺に同じ操作をした結果とみなす。

連立方程式は加減法か代入法。一方の文字を消去し、得た解を元の式に代入して他方を求める。

二次方程式 ax²+bx+c=0: 因数分解 → 平方完成 → 解の公式 x=(−b±√(b²−4ac))/(2a) の順で検討する。

判別式 D=b²−4ac: D>0 で異なる2実解、D=0 で重解、D<0 で実数解なし。

不等式は負の数で両辺を掛け・割ると不等号の向きが逆になる。正の数や加減では向きは変わらない。

連立不等式は各不等式の解を数直線に表し、共通部分(重なり)を取る。端点を含むかは ≤ と < で判断する。

文章題は求める量を x と置き、等しい関係(個数・距離・割合)を1つの方程式に表してから解き、条件に合うか確認する。

二次方程式の解と係数: 解が α, β のとき x²−(α+β)x+αβ=0。和と積の関係で係数を求められる。

比例 y=ax は原点を通る直線。a は変化の割合(傾き)で、x が1増えるときの y の増加量。

反比例 y=a/x は双曲線。x と y の積が常に a で、グラフは原点を通らず x 軸・y 軸に交わらない。

変化の割合=(y の増加量)/(x の増加量)。一次関数 y=ax+b では常に a に等しい。

一次関数のグラフ: 傾き a で増減が決まり、切片 b で y 軸との交点が決まる。平行な直線は傾きが等しい。

2直線の交点は連立方程式の解。交点の座標は両方の式を満たす。

変域: x の変域に対する y の変域は、端点の値とグラフの折り返し(頂点・漸近)を確認して求める。

反比例の比例定数 a は xy の値。グラフ上の1点がわかれば a が決まり、式全体が決まる。

身近な関数の見分け: 一定の割合で増える量は一次関数、積が一定の関係(仕事量・速さと時間)は反比例。

三角形の内角の和は180°、n角形の内角の和は (n−2)×180°、外角の和は常に360°。

平行線の錯角・同位角は等しい。三角形の外角は隣り合わない2つの内角の和に等しい。

合同条件: 3辺相等、2辺とその間の角相等、1辺と両端角相等。直角三角形は斜辺と他の1辺、斜辺と1鋭角も可。

相似条件: 3組の辺の比が等しい、2組の辺の比とその間の角が等しい、2組の角が等しい。相似比 k なら面積比は k²。

三平方の定理: 直角三角形で a²+b²=c²(c は斜辺)。逆も成り立ち、辺の比で直角三角形を判定できる。

円周角は中心角の半分。同じ弧に対する円周角は等しく、直径に対する円周角は90°。

面積: 三角形=(1/2)×底辺×高さ、台形=(1/2)×(上底+下底)×高さ、円=πr²、扇形=πr²×(中心角/360)。

立体: 柱の体積=底面積×高さ、錐の体積=(1/3)×底面積×高さ、球の体積=(4/3)πr³、表面積=4πr²。

代表値: 平均値=合計/個数、中央値=順に並べた中央の値(偶数個なら中央2つの平均)、最頻値=最も多く出る値。

範囲=最大値−最小値。四分位数はデータを小さい順に並べ中央値で二分し、Q1・Q2・Q3 を求める。

箱ひげ図は最小値・Q1・中央値・Q3・最大値の5点を表し、データの散らばりを比較できる。

度数分布表では階級の相対度数=その度数/総度数。相対度数の合計は1になる。

確率=(ある事象が起こる場合の数)/(すべての場合の数)。同様に確からしいことが前提。

場合の数は樹形図や表で漏れなく数える。順列 nPr と組合せ nCr の区別は順序を問うかで決まる。

余事象の確率: P(A)=1−P(not A)。「少なくとも1つ」は余事象で考えると早い。

独立な2つの試行では確率の積。排反な事象(同時に起こらない)では確率の和を使う。

証明の構成: 仮定を述べる → 根拠となる性質(定義・定理・条件)を明記 → 結論を導く。

根拠の例: 平行線の錯角、三角形の合同条件、相似条件、円周角の定理。根拠を書かずに結論だけ書くと不十分。

「ならば」の逆は常に成り立つとは限らない。逆が成り立つかは反例を探して確かめる。

反例は1つ挙げれば命題が偽であることを示せる。全称命題の否定は「ある〜が存在して成り立たない」。

背理法: 結論を否定して仮定し、矛盾を導くことで元の結論を証明する。

等しい長さや角を示すには合同・相似を経由する。対応する辺・角の順序をそろえて書く。

文字を使った説明では、連続する整数を n, n+1、偶数を 2n、奇数を 2n+1 と置くと一般性を保てる。

図形の性質を用いる際は、どの図形にどの定理を適用したかを明示すると論理の飛躍を防げる。

動点問題: 時間 t に対する長さを t の式で表し、面積や体積を t の関数として立式してから最大・最小や特定の値を求める。

関数と図形の融合: 交点座標を連立で求め、底辺・高さを座標差で表して面積を計算する。

文章題の立式は単位をそろえる。速さ・時間・距離は 距離=速さ×時間 で統一し、単位変換(分↔時間)を確認する。

割合の問題: 定価×割引率、利益=売価−原価。増減率=(変化量)/(もとの量)×100。

規則性・数列: 差や比の規則を見つけ、n 番目を n の式で表す。図形の増加は1段ごとの増分を確認する。

資料と関数の融合: 表やグラフから変化の割合を読み取り、一次関数や反比例のモデルに当てはめる。

複数条件の問題は、求める値を文字で置き、条件の個数だけ方程式を立てる。解が条件(整数・正の数など)を満たすか検証する。

近似値・有効数字: 測定値の計算では桁数と四捨五入の位置を意識し、答えの妥当性を概算で確認する。