東大寺・春日大社の訪問調査と確率
奈良市立飛鳥中学校の2年生40人を対象に、東大寺と春日大社を訪れたことがあるかを調査した。東大寺を訪れたことがある生徒は28人、春日大社は22人、両方とも訪れたことがある生徒は16人であった。学級委員は、この結果を表にまとめ、文化祭の発表で「奈良の歴史に親しむ」というテーマの資料を作る。ある生徒は「春日大社を訪れた人のうち16人が東大寺にも行っているので、春日大社だけ行った人より多い」と話した。別の生徒は「16/40=0.4で、28/40×22/40=0.385だから、ほぼ同じであり、二つの神社を訪れることは独立している」と主張した。学級委員は、表の空欄を埋め、確率を求め、二人の主張が正しいかどうかを判断する必要がある。また、どちらも訪れていない生徒の人数も求める。文化祭では、資料の数字が誤解を招かないように、割合の分母を明確に示すことになった。春日大社を訪れた生徒を母集団にした割合と、全体を母集団にした割合を区別する。さらに、40人の中から1人を無作為に選ぶときの確率を考える。学級委員は、表の合計が40人になることを確認しながら作業を進めた。割合は分数で表し、必要に応じて小数に直す。
1. 表の空欄を埋め、どちらも訪れていない生徒の人数と、40人から無作為に1人選ぶとき両方訪れたことがある確率を求めなさい。
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東大寺だけ訪れた生徒は28-16=12人、春日大社だけ訪れた生徒は22-16=6人である。少なくとも一方を訪れた生徒は12+16+6=34人なので、どちらも訪れていない生徒は40-34=6人である。
40人から無作為に1人選ぶとき、両方訪れたことがある確率は16/40=2/5である。
2. 春日大社を訪れた生徒を母集団としたとき、東大寺も訪れた生徒の割合を求め、全体での東大寺訪問率28/40と比べて、最初の生徒の主張「春日大社を訪れた人のうち16人が東大寺にも行っているので、春日大社だけ行った人より多い」をどう評価するか説明しなさい。
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春日大社を訪れた22人のうち、東大寺も訪れたのは16人なので、割合は16/22=8/11≈0.727である。全体での東大寺訪問率は28/40=7/10=0.7である。
最初の生徒の「16人が春日大社だけの6人より多い」という比較は、人数を比べているだけで、割合の比較になっていない。16人は両方訪れた人数であり、春日大社だけの6人と重なりなく比べられる集団ではない。
春日大社訪問者の中で東大寺も訪れた割合は約72.7%で、全体の70%よりやや高い。ただし、この程度の差で「春日大社を訪れる人は東大寺にも行きやすい」と断定するには、人数が少ないことに注意する必要がある。
3. 二つ目の生徒は「16/40=0.4、28/40×22/40=0.385だから独立している」と主張した。この主張が正しいか、表の人数を使って説明しなさい。
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二つの出来事が独立なら、P(両方)=P(東大寺)×P(春日大社) が成り立つ。 P(東大寺)=28/40=0.7、P(春日大社)=22/40=0.55なので、積は0.7×0.55=0.385。 実際のP(両方)=16/40=0.4である。
0.4と0.385は等しくないので、厳密には独立とはいえない。二つ目の生徒は「ほぼ同じ」と表現しているが、独立かどうかは近似の見た目ではなく、確率の積が実際の確率と一致するかで判断する。
また、P(東大寺|春日大社)=16/22≈0.727で、全体の0.7より少し高い。40人という少ない調査なので、少しの差で結論を急ぐべきではない。