図形 - 合同・相似・円・三平方の定理
平面図形（合同・相似・円）と空間図形（立体の体積・表面積）、そして三平方の定理を含む領域。奈良県の公立高校入試では証明と絡めた出題が多く、定理を「どの場面で使うか」の判断が問われる。
使う定理・公式
- 相似条件：3組の辺の比が等しい／2組の辺の比とその間の角が等しい／2組の角が等しい。
- 相似比 a : b なら面積比は a² : b²、体積比は a³ : b³。
- 円周角の定理：1つの弧に対する円周角は中心角の半分。直径に対する円周角は 90°。
- 三平方の定理：直角三角形で a²+b² = c²（c は斜辺）。
- 円錐の側面積は πrl（r は底面の半径、l は母線）、体積は (1/3)πr²h。
例題
底面の半径 3 cm、母線 5 cm の円錐の表面積を求める。 底面積は π×3² = 9π。側面積は π×3×5 = 15π。表面積は 9π+15π = 24π cm²。 高さは三平方の定理より √(5²−3²) = 4 cm、体積は (1/3)×9π×4 = 12π cm³。表面積と体積を混同しないこと。
失点しやすいところ
- 相似条件「2組の辺の比とその間の角」を、間の角でない角で使ってしまう。
- 円周角と中心角を取り違える。弧の長さと面積の公式を混同する。
- 錐体の体積で 1/3 を忘れる。
- 三平方の定理で、斜辺でない辺を斜辺として代入する。