総合問題・応用 - 規則性と融合問題
関数と図形、規則性、資料と方程式など、複数の領域を組み合わせた問題を扱う。奈良県の公立高校入試では大問の後半に配置され、式を立てて処理する力と、n 番目を一般化する力が問われる。
取り組み方
- まず「何が n に伴って変わるか」を表に書き、1番目・2番目・3番目の値の差を見る。差が一定なら一次式、差の差が一定なら2乗の式。
- 動点の問題は、x の変域で場合分けし、それぞれの区間で面積の式を作る。
- 関数と図形の融合は、交点の座標 → 辺の長さ → 面積の順に進める。
例題
同じ大きさの正方形を横一列に並べる。1番目は4本、2番目は7本、3番目は10本の棒がいる。n 番目に必要な棒の本数を求める。 1番目と2番目の差は3、2番目と3番目の差も3で一定。よって一次式 3n+b とおける。n = 1 で 3+b = 4 より b = 1。答えは 3n+1 本。 検算として n = 3 を代入すると 3×3+1 = 10 となり、表の値と一致する。
失点しやすいところ
- n = 1 で式を確かめず、n = 0 の値を切片にしてしまう。
- 動点の問題で x の変域を場合分けせず、1本の式で全部を処理しようとする。
- 面積の単位（cm²）や時間の単位を書き忘れる。
- 差が一定かどうかを確認せず、規則性を一次式と決めつける。