海岸段丘の崖の高さを相似と三平方で測る
沖縄本島南部の海岸段丘で、2年生が平和学習の一環として崖の高さを測る。崖の上端をP、真下の地面の点をHとし、Hを通る一直線上に、崖から遠い方からA、Bの順に点をとる。AからPを見上げる角は30°、BからPを見上げる角は45°で、AB間の距離は18mである。地面は水平で、目の高さは考えない。測量には巻尺と角度を測る器具だけを使い、崖には登らない。三平方の定理と、30°・45°の直角三角形の辺の比を利用してよい。ただし、ABの測定値には±1mの誤差が含まれる可能性がある。また、崖の上からは安全確認用のロープを垂らす予定で、ロープの長さは30mである。この崖は文化財指定区域内にあり、上空からの測量ができない。生徒は相似な直角三角形を見いだし、PHを求めることにした。BはAより崖に近く、A,B,Hはこの順に一直線上にある。測定は晴天の午前中に行い、AとBの位置は地面にペグを打って固定した。角度は分度器付きの測量器で1°単位まで読めるが、読み取りには±2°のばらつきがある。崖の上端Pは水平な地面から垂直に立ち上がっているとみなす。ロープは崖の上から地面まで垂らし、余った分は安全確保に使う。
1. 崖の高さPHを求めよ。計算過程を示し、小数第1位まで答えよ。
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BからPを見上げる角が45°なので、三角形PBHは直角二等辺三角形である。よってBH=PH=hとおける。
AからPを見上げる角が30°なので、三角形PAHは30°・60°・90°の直角三角形で、AH:PH=√3:1。よってAH=h√3。
A,B,Hは一直線上にあり、AB=AH−BH=18mだから、h√3−h=18、h(√3−1)=18。 h=18/(√3−1)=18(√3+1)/((√3−1)(√3+1))=18(√3+1)/2=9(√3+1)。√3=1.732…よりh≈9×2.732=24.588…。小数第1位までで24.6m。
2. ABを誤って24mと測定した場合、計算上の崖の高さは何mになるか。また、正しい18mの場合と比べて何%の誤差になるか。小数第1位まで求めよ。
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同じ角度30°、45°でAB=24mとすると、h(√3−1)=24、h=24/(√3−1)=12(√3+1)≈12×2.732=32.784…で32.8m。
正しい高さは24.6mなので、差は32.8−24.6=8.2m。誤差率は8.2÷24.6×100≈33.3%。
実はhはABに比例する。ABを18mから24mに4/3倍にしたので、高さも4/3倍になり、誤差率は(4/3−1)×100=33.3%と一致する。
3. 30mのロープは崖の上から地面まで届くか。正しい測定値と、AB=24mと誤測定した場合の両方で判断し、測定の改善点を述べよ。
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正しい高さ24.6mなら30mロープは届く。30−24.6=5.4mの余裕がある。
誤測定の32.8mで計算すると、30mでは4.8m足りないと判断してしまう。実際には届くのに、誤ったデータで余分なロープを用意することになる。
ABの測定は巻尺を一直線上に張れているか、A,B,Hが本当に一直線か、角度30°・45°を正確に読めているかを確認する。特にAB=18mと24mの差は大きく、測定点の取り直しや複数回測定が必要である。