Okinawa Public High School Entrance Examination - Mathematics case studies
Okinawa Public High School Entrance Examination - Mathematics · Put your knowledge to work in context.
Topics on this exam: 数と式（Numbers and Expressions）, 図形（Geometry）, 関数（Functions）, and データの活用（Data Utilization）. The Okinawa Public High School Entrance Examination - Mathematics case studies are 5 cases and about 62 words.
1文化祭模擬店のタコライス価格と利益計画
沖縄県立高校の文化祭は土日の2日間で、2年3組は校舎前の特設ブースでタコライスを販売する。1食の材料費は180円、販売価格は500円、ブース使用料と光熱費を合わせた固定費は2日間で12,000円である。初日は60食を用意し、52食が売れて8食を廃棄した。廃棄した分にも材料費はかかっている。2日目は売れ残りを減らすため、販売価格を450円に下げ、50円引きの割引券を20枚配布する。割引券はすべて使われ、割引後の400円で20食が売れ、残りは450円で売れるものとする。2日目は廃棄を出さず、販売数をx食とする。クラスの目標は2日間合計の利益30,000円以上である。利益は売上から材料費と固定費を引いた額とし、固定費は初日の会計に全額計上する。会計担当の生徒は、初日の廃棄が利益を押し下げたと考えている。2日目は初日とは別に、販売数x食分の材料を新たに仕入れ、売れ残りは出さない計画である。文化祭実行委員会からは、2日間の売上合計だけでなく、利益で目標を判断するように指示されている。また、販売数xは20以上とし、割引券の追加配布はしない。客数は十分に見込めるが、材料の仕入れ上限は150食である。. 初日の利益（固定費12,000円を全額差し引いた後）を求め、2日目の売上から材料費を引いた額をxの式で表せ。2日間合計の利益を30,000円以上にするために必要なxの最小値を整数で求めよ。. 初日の売上は52×500=26,000円、材料費は60×180=10,800円。固定費12,000円を引くと、初日の利益は26,000−10,800−12,000=3,200円。 2日目の売上は、割引券20枚で400円×20=8,000円、残り(x−20)食を450円で売るので450(x−20)円。売上合計は8,000+450x−9,000=450x−1,000円。材料費は180x円なので、2日目の売上−材料費は450x−1,000−180x=270x−1,000円。 2日間合計は3,200+(270x−1,000)=270x+2,200円。これが30,000円以上だから270x+2,200≥30,000、270x≥27,800、x≥102.96…。xは整数なので最小値は103食。ただし仕入れ上限150食より小さい。. 500円・割引券なしの2日目は、売上−材料費=(500−180)x=320x円。合計利益は3,200+320x≥30,000より320x≥26,800、x≥83.75…なので84食。 450円・割引券ありは103食必要。価格を下げると1食あたりの利益が270円に減るため、必要な販売数は19食増える。ただし500円案は売れ残りが出ると1食あたり180円の材料費がそのまま損失になる。初日に8食の廃棄が出ていることを考えると、103食売れる見込みがあるなら450円案の方が廃棄リスクは小さい。逆に客数が84〜102食程度なら500円案でなければ目標に届かない。どちらが現実的かは、見込める販売数と廃棄率で判断する。. 100円引きでは割引後の価格は350円。売上は350×20+450(x−20)=7,000+450x−9,000=450x−2,000円。材料費180xを引くと270x−2,000円。合計は3,200+270x−2,000=270x+1,200円。30,000円以上より270x≥28,800、x≥106.66…なので107食。50円引きの103食から4食増える。割引額を10,000円分増やした分、必要な販売数が増える。.
10 words, under 1 min2海岸段丘の崖の高さを相似と三平方で測る
沖縄本島南部の海岸段丘で、2年生が平和学習の一環として崖の高さを測る。崖の上端をP、真下の地面の点をHとし、Hを通る一直線上に、崖から遠い方からA、Bの順に点をとる。AからPを見上げる角は30°、BからPを見上げる角は45°で、AB間の距離は18mである。地面は水平で、目の高さは考えない。測量には巻尺と角度を測る器具だけを使い、崖には登らない。三平方の定理と、30°・45°の直角三角形の辺の比を利用してよい。ただし、ABの測定値には±1mの誤差が含まれる可能性がある。また、崖の上からは安全確認用のロープを垂らす予定で、ロープの長さは30mである。この崖は文化財指定区域内にあり、上空からの測量ができない。生徒は相似な直角三角形を見いだし、PHを求めることにした。BはAより崖に近く、A,B,Hはこの順に一直線上にある。測定は晴天の午前中に行い、AとBの位置は地面にペグを打って固定した。角度は分度器付きの測量器で1°単位まで読めるが、読み取りには±2°のばらつきがある。崖の上端Pは水平な地面から垂直に立ち上がっているとみなす。ロープは崖の上から地面まで垂らし、余った分は安全確保に使う。. 崖の高さPHを求めよ。計算過程を示し、小数第1位まで答えよ。. ABを誤って24mと測定した場合、計算上の崖の高さは何mになるか。また、正しい18mの場合と比べて何%の誤差になるか。小数第1位まで求めよ。. 30mのロープは崖の上から地面まで届くか。正しい測定値と、AB=24mと誤測定した場合の両方で判断し、測定の改善点を述べよ。. BからPを見上げる角が45°なので、三角形PBHは直角二等辺三角形である。よってBH=PH=hとおける。 AからPを見上げる角が30°なので、三角形PAHは30°・60°・90°の直角三角形で、AH:PH=√3:1。よってAH=h√3。 A,B,Hは一直線上にあり、AB=AH−BH=18mだから、h√3−h=18、h(√3−1)=18。 h=18/(√3−1)=18(√3+1)/((√3−1)(√3+1))=18(√3+1)/2=9(√3+1)。√3=1.732…よりh≈9×2.732=24.588…。小数第1位までで24.6m。. 同じ角度30°、45°でAB=24mとすると、h(√3−1)=24、h=24/(√3−1)=12(√3+1)≈12×2.732=32.784…で32.8m。 正しい高さは24.6mなので、差は32.8−24.6=8.2m。誤差率は8.2÷24.6×100≈33.3%。 実はhはABに比例する。ABを18mから24mに4/3倍にしたので、高さも4/3倍になり、誤差率は(4/3−1)×100=33.3%と一致する。.
14 words, under 1 min3修学旅行のレンタサイクル料金比較
修学旅行の自由行動で、那覇市の中心部をレンタサイクルで巡る。A店は基本料金300円で、利用時間1時間までごとに150円を加算する。B店は基本料金0円で、利用時間1時間までごとに250円を加算する。どちらも1時間未満の端数は1時間として計算し、料金は利用開始時に前払いする。生徒は6人で、全員が同じ店を利用し、同じ時間だけ借りる予定である。利用時間は4時間30分を予定しているが、見学先の混雑で3時間を超える可能性がある。A店には6人以上の団体利用で合計料金から10%を割り引く制度があり、B店には団体割引がない。自転車は6台借りられる在庫があり、返却は17時までに完了する必要がある。生徒会の会計から交通費として1人1,200円まで補助が出る。超過分は各自負担である。A店は駅前で返却場所が1か所、B店は海沿いに3か所の返却ポートがあるが、料金計算では区別しない。見学先は首里城公園と国際通りで、移動距離は合計約12kmを想定している。生徒は時間を正確に守れるとは限らず、返却が10分遅れると1時間分の追加料金が発生する。料金比較をして、どちらの店にするか判断する。. 利用時間をx時間（1時間未満切り上げ）とし、A店とB店の料金をxの式で表せ。A店がB店より安くなる条件を求めよ。ただしxは切り上げ後の整数時間として扱う。. 6人全員が4時間30分利用する場合、A店の団体割引（6人以上で合計10%引き）を適用すると合計料金はいくらか。B店と比較し、予算1人1,200円の補助で足りるか判断せよ。. 切り上げ後の時間をn時間とすると、A店は300+150n円、B店は250n円。 A店が安いのは300+150n<250n。300<100nよりn 3。nは整数だからn≥4。 つまり利用時間が3時間を超えるとA店が安い。3時間ちょうどではA店300+450=750円、B店750円で同額。3時間1分でも切り上げで4時間になり、A店900円、B店1,000円でA店が安い。. 4時間30分は1時間未満の端数があるので5時間に切り上げる。 A店=300+150×5=300+750=1,050円。B店=250×5=1,250円。差額は1,250−1,050=200円でA店が安い。 もし30分を切り捨てて4時間で計算するとA店900円、B店1,000円となり、差額100円と誤る。端数処理を確認することが重要である。. 1人1,050円の6人分は1,050×6=6,300円。10%引きで6,300×0.9=5,670円。B店は1,250×6=7,500円。差額は7,500−5,670=1,830円。 1人あたりに直すとA店は5,670÷6=945円。補助1,200円以内なので全員が自己負担なしで収まる。B店は7,500÷6=1,250円で、1人あたり50円の超過が出る。団体割引を考えるとA店が有利である。.
13 words, under 1 min4通学時間データの平均値と中央値の読み分け
沖縄県立高校の1年生で、通学時間を調べた。A組30人、B組30人である。A組は平均22分、中央値18分、最頻値15分、範囲60分、四分位範囲12分で、通学時間が70分の生徒が1人いる。B組は平均22分、中央値25分、最頻値30分、範囲35分、四分位範囲10分で、外れ値とみなせる生徒はいない。両クラスとも通学時間は10分単位ではなく1分単位で記録し、徒歩・自転車・バス・保護者の送迎を含む。A組の70分の生徒は、バスと徒歩を乗り継いでおり、朝の便が1時間に1本しかない。生徒会は、朝の校内放送で「平均通学時間22分」と紹介する予定だが、A組の担任は中央値も示すべきだと考えている。また、B組には30分以上の生徒が多く、A組には15分前後の生徒が多い。範囲と四分位範囲のどちらでばらつきを比べるかも検討している。調査は5月の平日5日間で、欠席者や遅刻者は含めず、登校に要した時間を自己申告で記録した。A組の70分の生徒は、バス通学のため、雨の日はさらに時間がかかる。B組の最頻値30分は、自転車通学の生徒に多い。生徒会は、通学時間を短く見せたいのではなく、朝の時間を有効に使う取り組みの参考にしたい。. A組とB組は平均通学時間が同じ22分なのに、中央値はA組18分、B組25分と異なる。この理由を、外れ値と分布の形に触れて説明せよ。. A組の70分の生徒を除いた29人の平均通学時間を求め、A組の「ふつうの生徒」の通学時間を表すには平均値と中央値のどちらが適切か判断せよ。計算過程も示せ。. A組の範囲は60分、四分位範囲は12分、B組の範囲は35分、四分位範囲は10分である。クラスのばらつきを比べるにはどちらの指標が適切か。理由を述べて判断せよ。. 平均はすべての値を足して人数で割るので、極端に大きい値の影響を受ける。A組には70分の生徒が1人おり、この値が平均を押し上げている。A組の多くの生徒は18分以下に集中しているため、中央値は18分と小さくなる。 B組は外れ値がなく、25分を中心に30分付近の生徒も多い。平均22分は、中央値25分より小さいので、短時間の生徒が一部いる一方で、30分前後に山がある分布と判断できる。平均が同じでも、中央値と最頻値を見ると分布の形は異なる。. A組30人の合計は22×30=660分。70分の生徒を除くと660−70=590分、人数は29人。平均は590÷29≈20.34分で、約20.3分。 外れ値を除いても平均20.3分は中央値18分より大きい。A組は短時間の生徒が多く、長時間の生徒が少数いる分布なので、平均は依然として長時間側に引っ張られている。 「ふつうの生徒」の実感に近いのは、極端な値の影響を受けにくい中央値18分である。平均を示す場合は、70分の生徒がいることや外れ値を除いた平均も併記する。.
12 words, under 1 min5ステージ背景の三角形拡大と絵の具の必要量
文化祭のステージ背景に、巨大な三角形の絵を描く。原画は直角三角形で、直角をはさむ2辺が12cmと16cm、斜辺が20cmである。ステージ用には、斜辺が4mになるように相似比を一定にして拡大する。絵の具は1m²あたり0.3L必要で、0.5L入りの缶を1缶1,200円で購入する。缶は開封後に余っても返品できない。背景係は、原画の面積を求めてから拡大後の面積を計算し、必要な缶数を決めようとしている。ステージの幅には余裕があるが、斜辺を4.5mまで大きくすると迫力が出るという意見もある。予算は絵の具代として4,000円以内である。原画は厚紙に描かれ、三角形の形は変えずに拡大する。拡大はコピー機で行うが、コピー機の拡大率は斜辺の長さで指定できないため、相似比を自分で計算する必要がある。文化祭までに2週間しかなく、絵の具の追加購入は前日まで可能である。背景係は3人で、絵の具の缶数が足りないと塗り直しができない。斜辺4m案と4.5m案を比較し、予算内で収まるか判断する。絵の具は1回塗りで計算し、2回目を塗る場合は別途必要量を見積もる。三角形の頂点はステージ床に合わせ、直角の位置が客席から見えるようにする。. 拡大後の三角形の面積をm²で求めよ。相似比と面積比を明示して計算せよ。. 絵の具は1m²あたり0.3L必要である。0.5L入りの缶を何缶購入すればよいか。必要量と費用を求め、予算4,000円以内か判断せよ。. 斜辺を4.5mに変更した場合、面積と必要な絵の具の量を求め、3缶のままで足りるか判断せよ。また、4m案と比べて予算面で変わる点を述べよ。. 原画の斜辺は20cm、拡大後の斜辺は4m=400cm。相似比は400÷20=20。 面積比は相似比の2乗なので20²=400倍。原画の面積は直角三角形の面積公式より12×16÷2=96cm²。 拡大後の面積は96×400=38,400cm²。1m²=10,000cm²なので3.84m²。. 必要な絵の具は3.84×0.3=1.152L。0.5L缶では1.152÷0.5=2.304缶なので、足りない分を考えると3缶必要。 3缶で1.5L、費用は1,200×3=3,600円。予算4,000円以内なので購入できる。 2缶では1.0Lしかなく、1.152Lに足りない。余りは1.5−1.152=0.348L出るが、返品できないため、塗り直しや補修に使う前提で考える。.
13 words, under 1 min