Okinawa Public High School Entrance Examination - Mathematics study guide

数と式：計算の精度が得点の土台

沖縄県公立高校入試の数学では、数と式の分野が大問1の小問集合にまとまって出題されます。正負の数の四則計算、文字式の計算、式の展開と因数分解、平方根の計算、二次方程式、連立方程式が中心で、1問あたりの配点は小さいものの、ここでの計算ミスは後半の関数・図形の失点に直結します。 展開公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²、(a−b)² = a² − 2ab + b²、(a+b)(a−b) = a² − b²。因数分解はこの逆で、まず共通因数をくくり出す。 平方根：√a × √b = √(ab)、√a ÷ √b = √(a/b)。加減は文字式と同じで、√2 + 3√2 = 4√2 のように同じ根号の項だけまとめられる。分母に根号が残ったら有理化する。 二次方程式：ax² + bx + c = 0 は因数分解が可能ならそれで解き、できないときは解の公式 x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a を使う。 連立方程式は加減法か代入法。文章題では何を x、y とおいたかを式の前に書く。 (√3 + 1)² − √12 を計算する。まず展開して 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3。次に √12 = 2√3 と簡単にする。よって (4 + 2√3) − 2√3 = 4。√12 を先に簡単にしないと、2√3 どうしが打ち消せることに気づけない。 (−3)² = 9 と −3² = −9 の区別。かっこの位置で答えが変わる。 √2 + √3 を √5 としてしまう誤り。根号の中の数は足せない。 因数分解で符号を逆にする。x² − 5x + 6 は積が +6、和が −5 の2数 −2 と −3 を使い (x−2)(x−3)。 二次方程式で解を1つしか書かない。x² = 9 の解は x = ±3。 文字式の文章題で、単位や「1個あたり」の見落とし。. 連立方程式の文章題は、何を x, y とおいたかを明記する.

図形：合同・相似の根拠と三平方の定理

図形分野は、角度の計算、合同・相似の証明、三平方の定理、円周角の定理、面積・体積が中心です。沖縄県の入試では証明問題が毎年出題され、結論だけでなく根拠となる条件を正しく書けるかが問われます。 平行線と角：同位角・錯角は等しい。三角形の外角は、隣り合わない2つの内角の和に等しい。 三角形の合同条件：3組の辺、2組の辺とその間の角、1組の辺とその両端の角。 相似条件：3組の辺の比が等しい、2組の辺の比とその間の角が等しい、2組の角が等しい。 相似比が a : b なら面積比は a² : b²、体積比は a³ : b³。 三平方の定理：直角三角形で a² + b² = c²（c は斜辺、すなわち直角の向かい側の辺）。 円周角の定理：1つの弧に対する円周角は中心角の半分。同じ弧に対する円周角は等しい。直径に対する円周角は90°。 円Oで、弧ABに対する中心角 ∠AOB が 80° のとき、小さい方の弧AB上に点Cをとったときの ∠ACB を求める。弧ABの反対側（大きい方の弧）上の円周角は 80° ÷ 2 = 40°。点Cが小さい方の弧の上にある場合は、円に内接する四角形の対角の和が180°になることから 180° − 40° = 140°。点Cの位置を図や問題文から判断することが要点。 相似比と面積比を取り違える。長さが2倍なら面積は4倍。 証明で「2組の辺と1つの角」と書く。間の角でなければ合同も相似もいえない。 三平方の定理で斜辺でない辺を c に代入する。直角の向かい側が斜辺。 円周角と中心角を混同し、半分にするのを忘れる。 証明の結論と根拠が逆になっている。使った条件を並べてから結論を書く。. 相似比 a : b → 面積比 a² : b²、体積比 a³ : b³.

関数：一次関数と y = ax² のグラフと変域

関数分野は一次関数 y = ax + b と二次関数 y = ax² が中心です。グラフの傾き・切片、変化の割合、変域、2つのグラフの交点、図形と絡めた動点の問題が出題されます。式・表・グラフの3つを行き来できるかが問われます。 一次関数 y = ax + b：a は傾き（変化の割合）、b は切片。変化の割合 = yの増加量 ÷ xの増加量 で、一次関数では常に一定。 二次関数 y = ax²：変化の割合は区間によって変わる。x が p から q まで増加するときの変化の割合は a(p + q) で求められる。 変域：y = ax² で a 0 のとき、x の変域に 0 を含めば最小値は 0。含まなければ 0 に近い側の端点が最小値。最大値は 0 から遠い側の端点。a < 0 なら最大・最小が逆になる。 交点：2つの式を連立して x を求め、その値を式に代入して y 座標も出す。 y = x² について、x の変域が −1 ≦ x ≦ 3 のときの y の変域を求める。x = −1 のとき y = 1、x = 0 のとき y = 0、x = 3 のとき y = 9。変域に x = 0 が含まれるので最小値は 0、最大値は 9。よって 0 ≦ y ≦ 9。両端だけを代入して 1 ≦ y ≦ 9 とするのが典型的な誤り。 二次関数でも「変化の割合＝傾き」と思い込み、一定だと考える。 変域が 0 をまたぐときの最小値・最大値の見落とし。 y = ax² で a の符号とグラフの開き方の関係を逆に覚える。a 0 は下に開く。 交点の x 座標だけ求めて y 座標を出し忘れる。 座標の符号ミス。特に第二・第三象限の点。. 一次関数の変化の割合は一定、y = ax² では区間ごとに変わる.

データの活用：代表値と度数分布の読み取り