通学時間データの平均値と中央値の読み分け
沖縄県立高校の1年生で、通学時間を調べた。A組30人、B組30人である。A組は平均22分、中央値18分、最頻値15分、範囲60分、四分位範囲12分で、通学時間が70分の生徒が1人いる。B組は平均22分、中央値25分、最頻値30分、範囲35分、四分位範囲10分で、外れ値とみなせる生徒はいない。両クラスとも通学時間は10分単位ではなく1分単位で記録し、徒歩・自転車・バス・保護者の送迎を含む。A組の70分の生徒は、バスと徒歩を乗り継いでおり、朝の便が1時間に1本しかない。生徒会は、朝の校内放送で「平均通学時間22分」と紹介する予定だが、A組の担任は中央値も示すべきだと考えている。また、B組には30分以上の生徒が多く、A組には15分前後の生徒が多い。範囲と四分位範囲のどちらでばらつきを比べるかも検討している。調査は5月の平日5日間で、欠席者や遅刻者は含めず、登校に要した時間を自己申告で記録した。A組の70分の生徒は、バス通学のため、雨の日はさらに時間がかかる。B組の最頻値30分は、自転車通学の生徒に多い。生徒会は、通学時間を短く見せたいのではなく、朝の時間を有効に使う取り組みの参考にしたい。
1. A組とB組は平均通学時間が同じ22分なのに、中央値はA組18分、B組25分と異なる。この理由を、外れ値と分布の形に触れて説明せよ。
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平均はすべての値を足して人数で割るので、極端に大きい値の影響を受ける。A組には70分の生徒が1人おり、この値が平均を押し上げている。A組の多くの生徒は18分以下に集中しているため、中央値は18分と小さくなる。
B組は外れ値がなく、25分を中心に30分付近の生徒も多い。平均22分は、中央値25分より小さいので、短時間の生徒が一部いる一方で、30分前後に山がある分布と判断できる。平均が同じでも、中央値と最頻値を見ると分布の形は異なる。
2. A組の70分の生徒を除いた29人の平均通学時間を求め、A組の「ふつうの生徒」の通学時間を表すには平均値と中央値のどちらが適切か判断せよ。計算過程も示せ。
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A組30人の合計は22×30=660分。70分の生徒を除くと660−70=590分、人数は29人。平均は590÷29≈20.34分で、約20.3分。
外れ値を除いても平均20.3分は中央値18分より大きい。A組は短時間の生徒が多く、長時間の生徒が少数いる分布なので、平均は依然として長時間側に引っ張られている。
「ふつうの生徒」の実感に近いのは、極端な値の影響を受けにくい中央値18分である。平均を示す場合は、70分の生徒がいることや外れ値を除いた平均も併記する。
3. A組の範囲は60分、四分位範囲は12分、B組の範囲は35分、四分位範囲は10分である。クラスのばらつきを比べるにはどちらの指標が適切か。理由を述べて判断せよ。
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範囲は最大値と最小値の差なので、A組の70分のような外れ値1つで大きく変わる。A組の範囲60分は、中央付近のばらつきを表しているとは限らない。
四分位範囲は中央50%のデータがどれだけ散らばっているかを示し、外れ値の影響を受けにくい。A組12分、B組10分なので、中央50%のばらつきはB組の方が小さい。
クラス全体の比較には四分位範囲が適切である。ただし、A組に長時間通学者がいる事実は範囲や最大値から別に伝える必要がある。