ステージ背景の三角形拡大と絵の具の必要量
文化祭のステージ背景に、巨大な三角形の絵を描く。原画は直角三角形で、直角をはさむ2辺が12cmと16cm、斜辺が20cmである。ステージ用には、斜辺が4mになるように相似比を一定にして拡大する。絵の具は1m²あたり0.3L必要で、0.5L入りの缶を1缶1,200円で購入する。缶は開封後に余っても返品できない。背景係は、原画の面積を求めてから拡大後の面積を計算し、必要な缶数を決めようとしている。ステージの幅には余裕があるが、斜辺を4.5mまで大きくすると迫力が出るという意見もある。予算は絵の具代として4,000円以内である。原画は厚紙に描かれ、三角形の形は変えずに拡大する。拡大はコピー機で行うが、コピー機の拡大率は斜辺の長さで指定できないため、相似比を自分で計算する必要がある。文化祭までに2週間しかなく、絵の具の追加購入は前日まで可能である。背景係は3人で、絵の具の缶数が足りないと塗り直しができない。斜辺4m案と4.5m案を比較し、予算内で収まるか判断する。絵の具は1回塗りで計算し、2回目を塗る場合は別途必要量を見積もる。三角形の頂点はステージ床に合わせ、直角の位置が客席から見えるようにする。
1. 拡大後の三角形の面積をm²で求めよ。相似比と面積比を明示して計算せよ。
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原画の斜辺は20cm、拡大後の斜辺は4m=400cm。相似比は400÷20=20。
面積比は相似比の2乗なので20²=400倍。原画の面積は直角三角形の面積公式より12×16÷2=96cm²。
拡大後の面積は96×400=38,400cm²。1m²=10,000cm²なので3.84m²。
2. 絵の具は1m²あたり0.3L必要である。0.5L入りの缶を何缶購入すればよいか。必要量と費用を求め、予算4,000円以内か判断せよ。
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必要な絵の具は3.84×0.3=1.152L。0.5L缶では1.152÷0.5=2.304缶なので、足りない分を考えると3缶必要。
3缶で1.5L、費用は1,200×3=3,600円。予算4,000円以内なので購入できる。
2缶では1.0Lしかなく、1.152Lに足りない。余りは1.5−1.152=0.348L出るが、返品できないため、塗り直しや補修に使う前提で考える。
3. 斜辺を4.5mに変更した場合、面積と必要な絵の具の量を求め、3缶のままで足りるか判断せよ。また、4m案と比べて予算面で変わる点を述べよ。
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斜辺4.5m=450cm。相似比は450÷20=22.5。面積比は22.5²=506.25倍。面積は96×506.25=48,600cm²=4.86m²。
必要な絵の具は4.86×0.3=1.458L。3缶で1.5Lなので、ぎりぎり足りる。
費用は3缶のまま3,600円で、4m案と変わらない。ただし余りは1.5−1.458=0.042Lしかなく、塗りむらや補修の余裕はほとんどない。4.5m案で失敗すると追加の1缶1,200円が必要になり、予算4,000円を超える。安全性を考えるなら4m案が余裕がある。