数と式：計算の精度が得点の土台
出題のねらい
沖縄県公立高校入試の数学では、数と式の分野が大問1の小問集合にまとまって出題されます。正負の数の四則計算、文字式の計算、式の展開と因数分解、平方根の計算、二次方程式、連立方程式が中心で、1問あたりの配点は小さいものの、ここでの計算ミスは後半の関数・図形の失点に直結します。
押さえるべきルール
- 展開公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²、(a−b)² = a² − 2ab + b²、(a+b)(a−b) = a² − b²。因数分解はこの逆で、まず共通因数をくくり出す。
- 平方根：√a × √b = √(ab)、√a ÷ √b = √(a/b)。加減は文字式と同じで、√2 + 3√2 = 4√2 のように同じ根号の項だけまとめられる。分母に根号が残ったら有理化する。
- 二次方程式：ax² + bx + c = 0 は因数分解が可能ならそれで解き、できないときは解の公式 x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a を使う。
- 連立方程式は加減法か代入法。文章題では何を x、y とおいたかを式の前に書く。
例題
(√3 + 1)² − √12 を計算する。まず展開して 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3。次に √12 = 2√3 と簡単にする。よって (4 + 2√3) − 2√3 = 4。√12 を先に簡単にしないと、2√3 どうしが打ち消せることに気づけない。
失点しやすいポイント
- (−3)² = 9 と −3² = −9 の区別。かっこの位置で答えが変わる。
- √2 + √3 を √5 としてしまう誤り。根号の中の数は足せない。
- 因数分解で符号を逆にする。x² − 5x + 6 は積が +6、和が −5 の2数 −2 と −3 を使い (x−2)(x−3)。
- 二次方程式で解を1つしか書かない。x² = 9 の解は x = ±3。
- 文字式の文章題で、単位や「1個あたり」の見落とし。