関数：一次関数と y = ax² のグラフと変域
出題のねらい
関数分野は一次関数 y = ax + b と二次関数 y = ax² が中心です。グラフの傾き・切片、変化の割合、変域、2つのグラフの交点、図形と絡めた動点の問題が出題されます。式・表・グラフの3つを行き来できるかが問われます。
押さえるべきルール
- 一次関数 y = ax + b：a は傾き（変化の割合）、b は切片。変化の割合 = yの増加量 ÷ xの増加量 で、一次関数では常に一定。
- 二次関数 y = ax²：変化の割合は区間によって変わる。x が p から q まで増加するときの変化の割合は a(p + q) で求められる。
- 変域：y = ax² で a > 0 のとき、x の変域に 0 を含めば最小値は 0。含まなければ 0 に近い側の端点が最小値。最大値は 0 から遠い側の端点。a < 0 なら最大・最小が逆になる。
- 交点：2つの式を連立して x を求め、その値を式に代入して y 座標も出す。
例題
y = x² について、x の変域が −1 ≦ x ≦ 3 のときの y の変域を求める。x = −1 のとき y = 1、x = 0 のとき y = 0、x = 3 のとき y = 9。変域に x = 0 が含まれるので最小値は 0、最大値は 9。よって 0 ≦ y ≦ 9。両端だけを代入して 1 ≦ y ≦ 9 とするのが典型的な誤り。
失点しやすいポイント
- 二次関数でも「変化の割合＝傾き」と思い込み、一定だと考える。
- 変域が 0 をまたぐときの最小値・最大値の見落とし。
- y = ax² で a の符号とグラフの開き方の関係を逆に覚える。a > 0 は下に開く。
- 交点の x 座標だけ求めて y 座標を出し忘れる。
- 座標の符号ミス。特に第二・第三象限の点。