兄の自転車は弟に追いつくか - 一次方程式と不等式
弟のタケシは8:00に家を出て、毎分60 mの速さで駅へ向かって歩く。兄のユウジは8:10に家を出て、毎分200 mの速さで同じ道を自転車で追いかける。駅は家から1200 mの地点にあり、道はまっすぐで、途中の800 m地点に交番がある。ユウジは駅に着くまでタケシを追いかけ、駅に着いたらそこで止まる。タケシは駅に着くまで歩き続ける。二人の位置は家からの距離で考え、ユウジが出発してからタケシに追いつくまでの時間を求めたい。ただし、自転車の速さと歩く速さは一定で、信号や待ち時間は考えない。クラスでこの問題を話し合ったとき、「10分遅れだから10分で追いつく」という意見と、「速さの差で考える必要がある」という意見が出た。家から駅までの道は一本道で、途中に曲がり角はない。追いつく時刻は秒単位まで求めるのではなく、分数で表してからおよその時刻を考える。また、ユウジが8:12に出発した場合についても、駅に着く前に追いつけるかを不等式を使って検討する。
1. 8:00からx分後の家からの距離を式で表し、ユウジがタケシに追いつく時刻を求めよ。
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8:00からx分後のタケシの距離は 60x m。ユウジは8:10出発なので、x分後の経過時間は (x−10) 分で、距離は 200(x−10) m。追いつくとき距離が等しいので 60x=200(x−10)。これを解くと 60x=200x−2000、140x=2000、x=100/7≈14.3。8:00から約14分17秒後なので、8:14:17ごろ。追いつく距離は 60×100/7=6000/7≈857 m である。
2. 追いつく地点は交番より先か、駅より手前か。両方の位置と比較して答えよ。
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追いつく地点は約857 m。交番は800 m地点なので、交番より約57 m先。駅は1200 m地点なので、駅より約343 m手前である。したがって、ユウジは駅に着く前にタケシに追いつく。800<6000/7<1200 を確認してもよい。800=5600/7、1200=8400/7 なので、6000/7 は確かにその間にある。
3. ユウジが8:12に出発した場合、駅に着く前に追いつけるか。不等式を使って説明せよ。
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8:00からx分後のタケシの距離は 60x。ユウジは8:12出発なので距離は 200(x−12)。追いつく条件は 60x=200(x−12)。解くと 60x=200x−2400、140x=2400、x=120/7≈17.14。距離は 60×120/7=7200/7≈1028.6 m。駅は1200 mなので、1028.6<1200 である。よって駅に着く前に追いつく。ユウジの駅到着は8:18で、追いつき時刻は8:17:08ごろなので、到着前であることも確認できる。