Saitama Public High School Entrance Examination - Mathematics case studies
Saitama Public High School Entrance Examination - Mathematics · Put your knowledge to work in context.
The Saitama Prefecture Public High School Admission Selection Mathematics examination (埼玉県公立高等学校入学者選抜 数学) is the mathematics component of the entrance selection used by Saitama's prefectural public high schools. It is taken by students finishing lower secondary school who wish to enter a prefectural public high school, and it is scored as part of a broader selection that also weighs other subjects and school-specific materials. The paper is written and is delivered in Japanese; it mixes multiple-choice items with short constructed-response questions in which you must show working and justify conclusions. Content follows the Japanese lower secondary mathematics curriculum: numbers and algebraic expressions, equations and inequalities, functions and graphs (including proportional and inverse-proportional relationships and quadratic functions), plane and solid geometry with congruence and similarity proofs, data handling and probability, and the reasoning and explanation skills that tie these together. Topics on this exam: Numbers and Algebraic Expressions (数と式), Equations and Inequalities (方程式・不等式), Functions and Graphs (関数・グラフ), Geometry and Figures (図形), Data Handling and Probability (資料の活用・確率), and Mathematical Reasoning and Proof (数学的な見方・考え方・証明). The Saitama Public High School Entrance Examination - Mathematics case studies are 5 cases and about 172 words.
1花壇の柵と培養土 - 平方根を含む長方形
文化祭で中庭に長方形の花壇を作ることになった。花壇の縦は(3+√2) m、横は(3−√2) mで、四隅は直角に保つ。周囲には木製の柵を一周させる。柵は12 m巻きを1本購入してあり、両端を支柱に固定するために合わせて0.4 mを重なりとして使う。したがって、実際に花壇の周囲に使える長さは12 mから0.4 mを引いた長さである。花壇の周囲には幅0.5 mの通路を確保するが、柵は花壇の境界に沿って張るので通路の幅は柵の長さに影響しない。また、花壇1 m²あたり2.5 kgの培養土が必要で、培養土は1袋5 kg入り、1袋600円で販売されている。培養土は花壇全体に同じ深さで敷き詰める。生徒会の培養土の予算は3000円で、袋は整数で買い、余りが出てもよい。作業分担として、柵担当の生徒は「周の長さが12 mちょうどなら足りる」と考えているが、重なりの分を忘れていないか確認する必要がある。測定では縦と横をそれぞれ小数第1位まで測り、√2≈1.414として計算してもよいが、答案では式を簡単にしてから判断する。まず柵が足りるかを判断し、次に必要な培養土の袋数と費用を求め、予算内で収まるかを検討する。さらに、縦と横をそれぞれ10%ずつ長くした場合の面積の増加率も、平方根を使わずに説明することになった。. 縦と横の和は (3+√2)+(3−√2)=6 m。長方形の周の長さは 2×6=12 m。使える柵の長さは 12−0.4=11.6 m。11.6<12 なので、12 m巻きでは0.4 m足りず、このままでは一周できない。√2の項が打ち消し合うことを利用すると、周の長さが整数になる点が重要である。. 面積は (3+√2)(3−√2)=3²−(√2)²=9−2=7 m²。必要な培養土は 7×2.5=17.5 kg。1袋5 kgなので 17.5÷5=3.5 より4袋必要。3袋では15 kgで足りない。費用は 4×600=2400円で、3000円以下なので予算内である。.
37 words, under 1 min2兄の自転車は弟に追いつくか - 一次方程式と不等式
弟のタケシは8:00に家を出て、毎分60 mの速さで駅へ向かって歩く。兄のユウジは8:10に家を出て、毎分200 mの速さで同じ道を自転車で追いかける。駅は家から1200 mの地点にあり、道はまっすぐで、途中の800 m地点に交番がある。ユウジは駅に着くまでタケシを追いかけ、駅に着いたらそこで止まる。タケシは駅に着くまで歩き続ける。二人の位置は家からの距離で考え、ユウジが出発してからタケシに追いつくまでの時間を求めたい。ただし、自転車の速さと歩く速さは一定で、信号や待ち時間は考えない。クラスでこの問題を話し合ったとき、「10分遅れだから10分で追いつく」という意見と、「速さの差で考える必要がある」という意見が出た。家から駅までの道は一本道で、途中に曲がり角はない。追いつく時刻は秒単位まで求めるのではなく、分数で表してからおよその時刻を考える。また、ユウジが8:12に出発した場合についても、駅に着く前に追いつけるかを不等式を使って検討する。. 8:00からx分後の家からの距離を式で表し、ユウジがタケシに追いつく時刻を求めよ。. 8:00からx分後のタケシの距離は 60x m。ユウジは8:10出発なので、x分後の経過時間は (x−10) 分で、距離は 200(x−10) m。追いつくとき距離が等しいので 60x=200(x−10)。これを解くと 60x=200x−2000、140x=2000、x=100/7≈14.3。8:00から約14分17秒後なので、8:14:17ごろ。追いつく距離は 60×100/7=6000/7≈857 m である。. 追いつく地点は約857 m。交番は800 m地点なので、交番より約57 m先。駅は1200 m地点なので、駅より約343 m手前である。したがって、ユウジは駅に着く前にタケシに追いつく。800<6000/7<1200 を確認してもよい。800=5600/7、1200=8400/7 なので、6000/7 は確かにその間にある。.
38 words, under 1 min32本のろうそくの高さが等しくなる時刻 - 一次関数と定義域
文化祭の展示で、2本のろうそくA、Bに同時に火をつける。Aは高さ24 cmで、1分間に0.8 cmずつ短くなる。Bは高さ12 cmで、1分間に0.2 cmずつ短くなる。Aは点火から30分で消える予定で、Bは60分で消える予定である。AとBは同じ太さで、燃え方は一定である。点火の時刻は同時で、風の影響はないものとする。高さをy cm、点火からの時間をx分として、それぞれの高さを一次関数で表す。展示担当の生徒は、2本の高さが等しくなる時刻をグラフの交点から読み取りたいと考えている。グラフをかくときは、横軸を時間、縦軸を高さとし、それぞれの定義域を明確にする。ただし、消えた後のろうそくの高さは0 cmとして扱うのではなく、そのろうそくの式の定義域を終えるものとする。また、点火後40分のときの様子も記録し、どちらのろうそくが高いかを説明する必要がある。. A、Bそれぞれの高さyをxの式で表し、xの定義域を明示せよ。. 点火後40分のとき、AとBのどちらが高いか。式の定義域とグラフの交点の意味を踏まえて説明せよ。. Aは24 cmから毎分0.8 cm減るので y=24−0.8x。30分で0になるので 0≤x≤30。Bは12 cmから毎分0.2 cm減るので y=12−0.2x。60分で0になるので 0≤x≤60。定義域を忘れると、消えた後も式が続くように誤解するので注意する。.
38 words, under 1 min4直方体の箱に最短でひもをかける - 展開図と三平方の定理
文化祭の展示で、縦6 cm、横8 cm、高さ10 cmの直方体の箱の表面に、1つの頂点から対角にある頂点まで飾りひもをかける。ひもは箱の面に沿ってぴんと張り、できるだけ短くしたい。箱の展開図を考えると、ひもが通る面の組み合わせは複数あり、展開した平面上の2点を結ぶ直線として長さを比較できる。ひもは箱の辺を通ってもよいが、面の内部をまっすぐ通るものとし、箱の外側だけを通る。箱は中身が入っていてもよく、ひもは箱の面から浮かないように張る。展開図は面を切り開いて平らにし、頂点の位置を対応させる。縦6 cm、横8 cm、高さ10 cmを固定し、展開の仕方によって三平方の定理で長さを求める。候補をすべて挙げたうえで、長さの2乗を比べると大小関係が判断しやすい。さらに、高さだけを12 cmに変えた場合に、最短のひもの長さがどうなるかも調べる。. 高さだけを12 cmに変えたとき、最短のひもの長さを求めよ。. 直方体の1頂点から対角の頂点までなので、展開すると2辺の和と残りの1辺を直角辺とする直角三角形ができる。候補は次の3つ。①(6+8)と10：√(14²+10²)=√(196+100)=√296=2√74。②(6+10)と8：√(16²+8²)=√(256+64)=√320=8√5。③(8+10)と6：√(18²+6²)=√(324+36)=√360=6√10。それぞれ約17.2 cm、約17.9 cm、約19.0 cm である。. 3候補のうち √296 が最小。2√74≈17.2 cm。理由は、展開図で2点を結ぶ直線が最短で、どの面の組み合わせで展開するかによって直角三角形の直角辺が変わるから。3つの値を2乗して比べると 296<320<360 なので、√296 が最小と確認できる。よって最短は 2√74 cm。.
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