Saitama Public High School Entrance Examination - Mathematics cheat sheet

同類項は係数をまとめる：3x+5x=8x。次数の異なる項（x と x²）はまとめられない。

指数法則：a^m×a^n=a^(m+n)、(a^m)^n=a^(mn)、(ab)^n=a^n b^n。a^0=1（a≠0）。

展開公式：(a+b)²=a²+2ab+b²、(a+b)(a−b)=a²−b²、(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab。

因数分解の手順：共通因数→公式（平方差・完全平方）→たすき掛け（x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)）。

√a×√b=√(ab)、√a÷√b=√(a/b)（a,b≥0）。分母の有理化は分母の√ を分子分母に掛ける。

√(a²)=|a|。例えば√((−3)²)=3 であり −3 ではない。

循環小数は分数化できる：0.\overline{3}=3/9=1/3、0.\overline{12}=12/99=4/33。

絶対値：|a| は数直線上で 0 からの距離。|a|=k（k>0）は a=±k。

文字式の値は代入前に式を簡単化すると計算誤りが減る。

一次方程式は移項で ax=b の形にし、両辺を a で割る。移項は符号を変えて反対辺に加える操作。

連立方程式は加減法（係数をそろえて辺々引く）か代入法（一方を他方に代入）で解く。

二次方程式の解の公式：x=(−b±√(b²−4ac))/(2a)。因数分解できる場合は因数分解を優先。

判別式 D=b²−4ac：D>0 で異なる2実解、D=0 で重解、D<0 で実数解なし。

不等式の両辺に負数を掛ける・割ると不等号の向きが逆になる。例：−2x>6 ⇒ x<−3。

連立不等式は各不等式の解を数直線に表し、共通部分（重なり）を取る。

二次不等式は解を境界にグラフの上下で判断：a>0 で ax²+bx+c<0 なら解の間、>0 なら解の外側。

文章題は求める量を x とおき、数量関係を等式化してから解く。解が条件（個数は自然数など）を満たすか確認する。

A=B の形の方程式で両辺に文字式を掛ける場合、その式が0にならない条件を確認する。

比例 y=ax は原点を通る直線、変化の割合（傾き）は一定で a。反比例 y=a/x は双曲線で、x と y の積が常に a。

一次関数 y=ax+b の傾きは a、切片は b。平行な直線は傾きが等しい。

2点 (x₁,y₁),(x₂,y₂) を通る直線の傾き a=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)。

変化の割合＝(y の増加量)/(x の増加量)。一次関数では常に一定、二次関数では区間ごとに変わる。

y=ax² のグラフは原点を頂点とする放物線で、y 軸対称。|a| が大きいほど開き方が狭い。

y=ax² 上の2点間の変化の割合は a(p+q)（x が p から q まで変化するとき）。

放物線と直線の交点は、y を消去してできる二次方程式の解として求める。

変域：y=ax²（a>0）で x の変域が 0 を含むとき、y の最小値は 0、最大値は両端のうち大きい方。

関数の利用では、グラフの交点が2つの量が等しくなる時刻や個数を表す。

三角形の内角の和は180°、n 角形の内角の和は (n−2)×180°、外角の和は常に360°。

平行線の錯角・同位角は等しい。三角形の外角は隣り合わない2つの内角の和に等しい。

合同条件：3辺相等、2辺とその間の角、1辺と両端の角。直角三角形は斜辺と他の1辺、斜辺と1鋭角。

相似条件：3組の辺の比が等しい、2組の辺の比とその間の角、2組の角。相似比 k なら面積比は k²、体積比は k³。

中点連結定理：三角形の2辺の中点を結ぶ線分は残りの辺に平行で、長さはその半分。

円周角は中心角の半分。同じ弧に対する円周角は等しい。直径に対する円周角は90°。

円に内接する四角形では対角の和が180°。接線は接点を通る半径に垂直。

三平方の定理：直角三角形で a²+b²=c²（c は斜辺）。特別角の比は 1:1:√2、1:2:√3。

おうぎ形：弧の長さ=2πr×(中心角/360)、面積=πr²×(中心角/360)=½×弧×半径。

立体：柱の体積=底面積×高さ、錐の体積=⅓×底面積×高さ、球の表面積=4πr²、体積=(4/3)πr³。

代表値：平均値=合計÷個数、中央値=順に並べた中央の値（偶数個なら中央2つの平均）、最頻値=最も多く出る値。

階級値=(階級の下限+上限)/2。度数分布表の平均値は（階級値×度数）の合計÷度数の合計で近似する。

相対度数=その階級の度数÷度数の合計。累積度数は小さい階級からの度数の和。

範囲（レンジ）=最大値−最小値。四分位数は中央値で分けた下半分・上半分の中央値。

箱ひげ図は最小値・第1四分位数・中央値・第3四分位数・最大値を表す。箱の長さはデータの散らばりを示す。

確率=(あることがらが起こる場合の数)/(すべての場合の数)。同様に確からしいことが前提。

場合の数は樹形図か表で数え漏れを防ぐ。積の法則：A が m 通り、B が n 通りなら m×n 通り。

余事象の確率：P(A が起こらない)=1−P(A)。「少なくとも1つ」は余事象で考える。

コイン2枚・さいころ2個などは区別して数えると全事象が同様に確からしくなる。

証明の構成：仮定（問題文の条件）→根拠（定義・定理・性質）→結論。各段に理由を必ず書く。

合同の証明の型：「△ABC と △DEF において」→等しい辺・角を根拠付きで列挙→合同条件→「よって△ABC≡△DEF」。

相似の証明も同様に、等しい角や辺の比を根拠付きで示し、相似条件を述べて結論を書く。

根拠として使えるもの：仮定、対頂角、共通な辺、平行線の錯角・同位角、中点、円周角の定理など。

文字を使った証明：整数を n や 2n、2n+1 と表し、計算して目的の形（例：6の倍数=6k）に変形する。

背理法：結論を否定して仮定し、矛盾を導くことで元の結論が正しいと示す。

反例は命題を偽にする1つの例で十分。「すべての～」の命題は1つの反例で崩れる。

作図の基本：垂直二等分線（2点から等距離）、角の二等分線（2辺から等距離）、垂線。作図の手順と根拠を説明できるようにする。

証明の読み返し：使った条件が仮定か既知の定理か、結論と一致しているかを確認する。