Saitama Public High School Entrance Examination - Mathematics study guide
Saitama Public High School Entrance Examination - Mathematics · Work through your exam, one topic at a time.
The Saitama Prefecture Public High School Admission Selection Mathematics examination (埼玉県公立高等学校入学者選抜 数学) is the mathematics component of the entrance selection used by Saitama's prefectural public high schools. It is taken by students finishing lower secondary school who wish to enter a prefectural public high school, and it is scored as part of a broader selection that also weighs other subjects and school-specific materials. The paper is written and is delivered in Japanese; it mixes multiple-choice items with short constructed-response questions in which you must show working and justify conclusions. Content follows the Japanese lower secondary mathematics curriculum: numbers and algebraic expressions, equations and inequalities, functions and graphs (including proportional and inverse-proportional relationships and quadratic functions), plane and solid geometry with congruence and similarity proofs, data handling and probability, and the reasoning and explanation skills that tie these together. The Saitama Public High School Entrance Examination - Mathematics study guide has 6 sections and about 256 words.
01数と式 - 計算と式変形の土台
埼玉県公立高校入試の数学では、正負の数・文字式・平方根などの計算力と、式を目的に応じて変形する力が問われる。単なる計算だけでなく、代入して値をもとめる問題、整数条件を整理する問題、図形の長さを平方根で表す問題も出る。式の形を「展開する」「因数分解する」「分母を有理化する」のどれに導くかを見抜くことが中心になる。 展開は分配法則が基本。(a+b)^2=a^2+2ab+b^2、(a-b)^2=a^2-2ab+b^2、(a+b)(a-b)=a^2-b^2。 因数分解は展開の逆。共通因数を先に抜き、公式が使える形か確認する。 文字式の加法・減法は同類項をまとめる。乗法・除法では係数と文字を分けて計算する。 √a×√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)。分母に√があれば分母の有理化を行う。 √(a^2)= a 。aが負の可能性があるときは、そのままaとしない。 平方根の大小は、2乗して比べる。正の数a,bでは a<b ⇔ a^2<b^2。 (√5+√2)^2-(√5-√2)^2 を計算する。展開してから引くと、(5+2√10+2)-(5-2√10+2)=4√10。別解として、A^2-B^2=(A+B)(A-B) を使うと、(2√5)(2√2)=4√10。どちらも同じ結果になるが、後の式変形は計算量が少ない。 因数分解で符号を逆にする。特に(a-b)^2と(a+b)^2の混同。 分母の有理化で、分子だけに√をかける、または分母の符号を忘れる。 √(a^2)をaとしてしまう。文字が負の場合を落とす。 代入前に約分できるのに、そのまま数値を入れて計算を膨らませる。 整数条件の問題で、nを整数と断らずに式を立てる。.
39 words, under 1 min02方程式・不等式 - 解の正確さと条件の読み取り
埼玉県公立高校入試では、一次方程式・連立方程式・二次方程式を正確に解く力と、不等式の解を数直線で捉える力が問われる。文章題では、何をxとおくか、等式や不等式をどの関係から作るかが勝負になる。解いた後に元の式や問題文へ戻して確認する習慣が得点差になる。 等式の性質：両辺に同じ数を足す・引く・かける・割る（0以外）ことができる。 連立方程式は、加減法か代入法で1文字を消す。係数をそろえるときは最小公倍数を使う。 二次方程式は、因数分解→平方完成→解の公式の順で考える。ax^2+bx+c=0 の解は x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。 不等式は、両辺に負の数をかける、または負の数で割ると不等号の向きが逆になる。 文章題では、求めるものをxとおき、単位をそろえて式を作る。不等号なら「以上」「未満」の区別を確認する。 連立方程式の解は、2直線の交点の座標に対応する。 2x-3 5x+6 を解く。両辺から2xを引くと -3 3x+6。両辺から6を引くと -9 3x。両辺を3で割ると -3 x、すなわち x<-3。確認としてx=-4を代入すると、左辺=-11、右辺=-14で、-11 -14は成り立つ。数直線上では-3を含まない左側を表す。 負の数で割ったときに不等号を逆にしない。 連立方程式で、片方の式だけに数をかけ、もう片方にかけ忘れる。 二次方程式の因数分解で、解の符号を逆にする。 文章題で「以上」と「より大きい」を混同する。 解を求めただけで終わり、問題文が問う単位や個数を答えない。. 文章題は求めるものをxとおき、単位をそろえる。.
45 words, under 1 min03関数・グラフ - 式と図の対応
埼玉県公立高校入試では、比例・反比例、一次関数、y=ax^2 のグラフと式の関係が問われる。与えられた条件から式を決定する問題、交点や変化の割合を求める問題、グラフ上の図形の面積を求める問題が出る。式・表・グラフを相互に変換できることが中心になる。 一次関数 y=ax+b の a は変化の割合（傾き）、b はy切片。 比例 y=ax、反比例 y=a/x。反比例では x≠0 で、a 0 なら第1・3象限、a<0 なら第2・4象限。 y=ax^2 のグラフは放物線。a 0 なら下に凸、a<0 なら上に凸。頂点は原点、軸はy軸。 2直線が平行なら傾きが等しい。垂直なら傾きの積が-1（一次関数の範囲）。 交点は2つの式を連立して求める。変化の割合は (yの増加量)/(xの増加量)。 通る1点の座標を式に代入すると、切片や係数を決定できる。 y=2x+1 と y=x^2 の交点を求める。x^2=2x+1 とおくと x^2-2x-1=0。解の公式から x=(2±√(4+4))/2=1±√2。それぞれのxを y=2x+1 に代入して、交点は (1+√2, 3+2√2) と (1-√2, 3-2√2)。グラフでは放物線と直線が2点で交わることと整合する。 y=ax^2 のaの符号とグラフの向きを逆にする。 交点のx座標だけを求めて、y座標を答えない。 変化の割合を「yの増加量/xの増加量」ではなく逆にする。 定義域が限られているのに、グラフ全体の話をしてしまう。 座標の順序を(x,y)ではなく(y,x)で書く。.
65 words, under 1 min04図形 - 定理を使う条件と長さの計算
埼玉県公立高校入試の図形では、角の性質、三角形の合同・相似、三平方の定理、円の性質、面積・体積が問われる。図に補助線を引く問題、相似比から長さや面積を求める問題、証明の前提となる性質を見つける問題が出る。定理を「どの条件で使えるか」まで理解しているかが試される。 平行線の同位角・錯角は等しい。三角形の内角の和は180°、外角は隣り合わない2つの内角の和に等しい。 合同条件：3辺、2辺とその間の角、1辺と両端の角。相似条件：2角、2辺の比とその間の角、3辺の比。 相似比がm:nなら、面積比はm^2:n^2、体積比はm^3:n^3。 三平方の定理：直角三角形で a^2+b^2=c^2（cは斜辺）。 円周角の定理：同じ弧に対する円周角は等しい。直径に対する円周角は90°。 円に内接する四角形では、対角の和が180°。接線は接点を通る半径と垂直。 直角三角形ABCで、∠C=90°、AC=3、BC=4とする。斜辺ABは三平方の定理から AB^2=3^2+4^2=25、AB=5。次に、CからABへ垂線CHを引く。△ABCと△ACHは∠Aが共通で∠ACB=∠AHC=90°なので相似。相似比は AB:AC=5:3 だから、CH=BC×(3/5)=4×3/5=12/5。長さを求める際は、どの三角形の対応する辺かを順に確認する。 合同・相似の対応順を間違え、比を逆にする。 面積比を相似比のまま使う（2乗を忘れる）。 円周角と中心角の関係を逆にする。 三平方の定理で斜辺でない辺をcにする。 補助線を引いた後、どの角が等しいかを根拠なく決める。.
37 words, under 1 min05資料の活用・確率 - 代表値と場合の数
埼玉県公立高校入試では、資料から代表値や傾向を読み取る問題と、場合の数を整理して確率を求める問題が出る。平均値・中央値・最頻値・範囲の定義、相対度数、確率の基本性質を正確に使うことが求められる。樹形図や表を書き、数え漏れ・重複を防ぐことが得点につながる。 平均値=合計÷個数。中央値はデータを小さい順に並べたときの中央の値。偶数個なら中央2つの平均。最頻値は最も多く出る値。範囲=最大値-最小値。 相対度数=その階級の度数÷全体の度数。相対度数の合計は1。 確率=ある事象が起こる場合の数÷すべての場合の数。同様に確からしいことが前提。 起こらない確率は 1-p。「少なくとも1つ」は余事象を使うと早い。 独立な2つの試行では、確率を掛ける。ただし「同時に」「続けて」などの条件を読む。 ヒストグラムの階級値は、各階級の中央の値として扱う。 赤玉2個、白玉3個が入った袋から、玉を1個取り出して色を確認し、袋に戻さずにもう1個取り出す。2個とも赤である確率を求める。1回目に赤が出る確率は2/5。その赤を袋に戻さないので、残りは赤1個、白3個の4個。2回目に赤が出る確率は1/4。よって (2/5)×(1/4)=1/10。樹形図でも、赤赤は2×1=2通り、全体は5×4=20通りで2/20=1/10。 中央値を求める前に並べ替えをしない。 偶数個の中央値で、中央2つのどちらかだけを答える。 「戻す」問題と「戻さない」問題を混同する。 場合の数を数えるとき、同じものを別物として数え忘れる、または重複して数える。 「少なくとも」で余事象を使わず、場合分けを漏らす。.
35 words, under 1 min06数学的な見方・考え方・証明 - 根拠をつなぐ
埼玉県公立高校入試では、図形の合同・相似の証明、数や式の性質の説明、筋道立てて考えたことを記述する問題が出る。結論だけでなく、根拠となる定義・定理・条件を明示し、仮定から結論へつなぐ力が問われる。証明は「何が仮定で、何が結論か」を最初に分けると書きやすい。 証明の基本形：仮定を書く→根拠となる性質を書く→結論を書く。 合同を示すなら、対応する辺・角をそろえて合同条件を明示する。相似なら相似条件を明示する。 数についての説明では、整数nを使って偶数を2n、奇数を2n+1と表す。 等式変形では、両辺に同じ操作をしたことを示す。0で割る操作は使えない。 結論を仮定として使う、または示すべきことを途中で使うと循環論法になる。 図形では、使った性質を「〜だから」とつなぎ、対応順を崩さない。 「連続する2つの奇数の積に1を加えた数は4の倍数である」ことを説明する。連続する2つの奇数を、整数nを使って 2n+1、2n+3 とおく。積に1を加えると、(2n+1)(2n+3)+1=4n^2+8n+3+1=4n^2+8n+4=4(n^2+2n+1)。n^2+2n+1は整数だから、4×整数の形になり、4の倍数である。連続する奇数を2n-1、2n+1とおいてもよいが、2つの表し方が連続していることを明記する。 仮定と結論を逆に書く。 合同条件・相似条件の言葉を省略し、どの辺・角が対応するか書かない。 奇数を2n+1とだけ書いて、連続する2つの奇数を表せていない。 計算結果が4の倍数であることを、式の変形を示さずに結論だけ書く。 図形の証明で、見た目から等しいと判断する。. 連続する奇数は2n+1、2n+3と表せる。.
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