2本のろうそくの高さが等しくなる時刻 - 一次関数と定義域
文化祭の展示で、2本のろうそくA、Bに同時に火をつける。Aは高さ24 cmで、1分間に0.8 cmずつ短くなる。Bは高さ12 cmで、1分間に0.2 cmずつ短くなる。Aは点火から30分で消える予定で、Bは60分で消える予定である。AとBは同じ太さで、燃え方は一定である。点火の時刻は同時で、風の影響はないものとする。高さをy cm、点火からの時間をx分として、それぞれの高さを一次関数で表す。展示担当の生徒は、2本の高さが等しくなる時刻をグラフの交点から読み取りたいと考えている。グラフをかくときは、横軸を時間、縦軸を高さとし、それぞれの定義域を明確にする。ただし、消えた後のろうそくの高さは0 cmとして扱うのではなく、そのろうそくの式の定義域を終えるものとする。また、点火後40分のときの様子も記録し、どちらのろうそくが高いかを説明する必要がある。
1. A、Bそれぞれの高さyをxの式で表し、xの定義域を明示せよ。
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Aは24 cmから毎分0.8 cm減るので y=24−0.8x。30分で0になるので 0≤x≤30。Bは12 cmから毎分0.2 cm減るので y=12−0.2x。60分で0になるので 0≤x≤60。定義域を忘れると、消えた後も式が続くように誤解するので注意する。
2. 2本の高さが等しくなる時刻と、そのときの高さを求めよ。
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24−0.8x=12−0.2x を解く。両辺を10倍して 240−8x=120−2x。240−120=8x−2x、120=6x、x=20。これはAの定義域 0≤x≤30 に入る。高さはAより 24−0.8×20=24−16=8 cm。Bでも 12−0.2×20=12−4=8 cm で一致する。よって点火後20分、高さ8 cm。
3. 点火後40分のとき、AとBのどちらが高いか。式の定義域とグラフの交点の意味を踏まえて説明せよ。
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40分はAの定義域 0≤x≤30 を超えているので、Aはすでに消えて高さ0 cm。Bは定義域内で y=12−0.2×40=12−8=4 cm。よってBの方が高い。グラフの交点 x=20 は「両方が燃えている間」の出来事で、それ以降はAが先に消えるため、交点の先でAの式を延長して考えるのは適切でない。40分の時点ではAの式は使えない。