直方体の箱に最短でひもをかける - 展開図と三平方の定理
文化祭の展示で、縦6 cm、横8 cm、高さ10 cmの直方体の箱の表面に、1つの頂点から対角にある頂点まで飾りひもをかける。ひもは箱の面に沿ってぴんと張り、できるだけ短くしたい。箱の展開図を考えると、ひもが通る面の組み合わせは複数あり、展開した平面上の2点を結ぶ直線として長さを比較できる。ひもは箱の辺を通ってもよいが、面の内部をまっすぐ通るものとし、箱の外側だけを通る。箱は中身が入っていてもよく、ひもは箱の面から浮かないように張る。展開図は面を切り開いて平らにし、頂点の位置を対応させる。縦6 cm、横8 cm、高さ10 cmを固定し、展開の仕方によって三平方の定理で長さを求める。候補をすべて挙げたうえで、長さの2乗を比べると大小関係が判断しやすい。さらに、高さだけを12 cmに変えた場合に、最短のひもの長さがどうなるかも調べる。
1. 展開図の取り方によって、ひもの長さの候補を3通り求めよ。
Read the worked answer
直方体の1頂点から対角の頂点までなので、展開すると2辺の和と残りの1辺を直角辺とする直角三角形ができる。候補は次の3つ。①(6+8)と10：√(14²+10²)=√(196+100)=√296=2√74。②(6+10)と8：√(16²+8²)=√(256+64)=√320=8√5。③(8+10)と6：√(18²+6²)=√(324+36)=√360=6√10。それぞれ約17.2 cm、約17.9 cm、約19.0 cm である。
2. 最短のひもの長さを選び、その理由を説明せよ。
Read the worked answer
3候補のうち √296 が最小。2√74≈17.2 cm。理由は、展開図で2点を結ぶ直線が最短で、どの面の組み合わせで展開するかによって直角三角形の直角辺が変わるから。3つの値を2乗して比べると 296<320<360 なので、√296 が最小と確認できる。よって最短は 2√74 cm。
3. 高さだけを12 cmに変えたとき、最短のひもの長さを求めよ。
Read the worked answer
高さ12 cmで同じ3通りを計算する。①(6+8)と12：√(14²+12²)=√(196+144)=√340=2√85≈18.4。②(6+12)と8：√(18²+8²)=√(324+64)=√388=2√97≈19.7。③(8+12)と6：√(20²+6²)=√(400+36)=√436=2√109≈20.9。最小は 2√85 cm。高さが増えると、縦と横を足した14 cmと高さを組にする展開が最も短くなる。