通学時間のデータから代表値を選ぶ - 平均値・中央値・最頻値
あるクラスで15人の通学時間（分）を調べた。結果は次のとおりである。5, 8, 10, 10, 12, 15, 15, 15, 20, 22, 25, 30, 35, 40, 90。90分の生徒は電車の遅延で、普段は40分である。データはすべて整数で、単位は分である。学級新聞で「このクラスの通学時間は約何分か」を報告することになり、平均値、中央値、最頻値のどれを代表値に使うか話し合った。ある生徒は「平均値を計算すると23分を超えるので、実際より大きく見える」と言い、別の生徒は「90分を除くと平均値は大きく下がる」と言った。また、最頻値は15分で、多くの生徒の通学時間に近いという意見も出た。平均値は全データの合計を人数で割った値、中央値は小さい順に並べたときの中央の値、最頻値は最も多く出た値である。学級新聞では小数第1位まで報告してよいが、代表値の意味を説明する文章も添える。データの特徴を踏まえ、代表値として何を選ぶとよいかを検討する。
1. 平均値と中央値を求めよ。
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合計は 5+8+10+10+12+15+15+15+20+22+25+30+35+40+90。順に足すと 5+8=13、+10=23、+10=33、+12=45、+15=60、+15=75、+15=90、+20=110、+22=132、+25=157、+30=187、+35=222、+40=262、+90=352。平均値は 352÷15=23.466…≈23.5分。中央値は15個のデータの8番目。小さい順に並べると8番目は15分。よって中央値15分。
2. 90分を40分に修正したとき、平均値と中央値はそれぞれどう変わるか。
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合計は 352−90+40=302。平均値は 302÷15=20.133…≈20.1分。元の平均値23.5分から約3.3分下がる。中央値は修正後のデータを並べると 5,8,10,10,12,15,15,15,20,22,25,30,35,40,40 で、8番目は依然15分。よって中央値は変わらない。平均値は外れ値の影響を受けやすいが、中央値は順位で決まるため影響が小さいことがわかる。
3. 代表値として中央値を選ぶ理由を、データの特徴を挙げて説明せよ。
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このデータには90分という外れ値があり、平均値を23.5分に押し上げている。しかし15人中14人は40分以下で、中央値15分は多くの生徒の実感に近い。最頻値も15分で、中央値と一致している。代表値は「典型的な値」を示すものなので、外れ値に強い中央値が適切。平均値を使うなら、90分の事情を注記する必要がある。報告では中央値15分を中心にし、平均値も参考として併記するとよい。