数と式 - 計算と式変形の土台
数と式で問われること
埼玉県公立高校入試の数学では、正負の数・文字式・平方根などの計算力と、式を目的に応じて変形する力が問われる。単なる計算だけでなく、代入して値をもとめる問題、整数条件を整理する問題、図形の長さを平方根で表す問題も出る。式の形を「展開する」「因数分解する」「分母を有理化する」のどれに導くかを見抜くことが中心になる。
押さえる規則
- 展開は分配法則が基本。(a+b)^2=a^2+2ab+b^2、(a-b)^2=a^2-2ab+b^2、(a+b)(a-b)=a^2-b^2。
- 因数分解は展開の逆。共通因数を先に抜き、公式が使える形か確認する。
- 文字式の加法・減法は同類項をまとめる。乗法・除法では係数と文字を分けて計算する。
- √a×√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)。分母に√があれば分母の有理化を行う。
- √(a^2)=|a|。aが負の可能性があるときは、そのままaとしない。
- 平方根の大小は、2乗して比べる。正の数a,bでは a<b ⇔ a^2<b^2。
例題で確認
(√5+√2)^2-(√5-√2)^2 を計算する。展開してから引くと、(5+2√10+2)-(5-2√10+2)=4√10。別解として、A^2-B^2=(A+B)(A-B) を使うと、(2√5)(2√2)=4√10。どちらも同じ結果になるが、後の式変形は計算量が少ない。
失点しやすい点
- 因数分解で符号を逆にする。特に(a-b)^2と(a+b)^2の混同。
- 分母の有理化で、分子だけに√をかける、または分母の符号を忘れる。
- √(a^2)をaとしてしまう。文字が負の場合を落とす。
- 代入前に約分できるのに、そのまま数値を入れて計算を膨らませる。
- 整数条件の問題で、nを整数と断らずに式を立てる。