図形 - 定理を使う条件と長さの計算
図形で問われること
埼玉県公立高校入試の図形では、角の性質、三角形の合同・相似、三平方の定理、円の性質、面積・体積が問われる。図に補助線を引く問題、相似比から長さや面積を求める問題、証明の前提となる性質を見つける問題が出る。定理を「どの条件で使えるか」まで理解しているかが試される。
押さえる規則
- 平行線の同位角・錯角は等しい。三角形の内角の和は180°、外角は隣り合わない2つの内角の和に等しい。
- 合同条件：3辺、2辺とその間の角、1辺と両端の角。相似条件：2角、2辺の比とその間の角、3辺の比。
- 相似比がm:nなら、面積比はm^2:n^2、体積比はm^3:n^3。
- 三平方の定理：直角三角形で a^2+b^2=c^2（cは斜辺）。
- 円周角の定理：同じ弧に対する円周角は等しい。直径に対する円周角は90°。
- 円に内接する四角形では、対角の和が180°。接線は接点を通る半径と垂直。
例題で確認
直角三角形ABCで、∠C=90°、AC=3、BC=4とする。斜辺ABは三平方の定理から AB^2=3^2+4^2=25、AB=5。次に、CからABへ垂線CHを引く。△ABCと△ACHは∠Aが共通で∠ACB=∠AHC=90°なので相似。相似比は AB:AC=5:3 だから、CH=BC×(3/5)=4×3/5=12/5。長さを求める際は、どの三角形の対応する辺かを順に確認する。
失点しやすい点
- 合同・相似の対応順を間違え、比を逆にする。
- 面積比を相似比のまま使う（2乗を忘れる）。
- 円周角と中心角の関係を逆にする。
- 三平方の定理で斜辺でない辺をcにする。
- 補助線を引いた後、どの角が等しいかを根拠なく決める。