数学的な見方・考え方・証明 - 根拠をつなぐ
数学的な見方・考え方・証明で問われること
埼玉県公立高校入試では、図形の合同・相似の証明、数や式の性質の説明、筋道立てて考えたことを記述する問題が出る。結論だけでなく、根拠となる定義・定理・条件を明示し、仮定から結論へつなぐ力が問われる。証明は「何が仮定で、何が結論か」を最初に分けると書きやすい。
押さえる規則
- 証明の基本形：仮定を書く→根拠となる性質を書く→結論を書く。
- 合同を示すなら、対応する辺・角をそろえて合同条件を明示する。相似なら相似条件を明示する。
- 数についての説明では、整数nを使って偶数を2n、奇数を2n+1と表す。
- 等式変形では、両辺に同じ操作をしたことを示す。0で割る操作は使えない。
- 結論を仮定として使う、または示すべきことを途中で使うと循環論法になる。
- 図形では、使った性質を「〜だから」とつなぎ、対応順を崩さない。
例題で確認
「連続する2つの奇数の積に1を加えた数は4の倍数である」ことを説明する。連続する2つの奇数を、整数nを使って 2n+1、2n+3 とおく。積に1を加えると、(2n+1)(2n+3)+1=4n^2+8n+3+1=4n^2+8n+4=4(n^2+2n+1)。n^2+2n+1は整数だから、4×整数の形になり、4の倍数である。連続する奇数を2n-1、2n+1とおいてもよいが、2つの表し方が連続していることを明記する。
失点しやすい点
- 仮定と結論を逆に書く。
- 合同条件・相似条件の言葉を省略し、どの辺・角が対応するか書かない。
- 奇数を2n+1とだけ書いて、連続する2つの奇数を表せていない。
- 計算結果が4の倍数であることを、式の変形を示さずに結論だけ書く。
- 図形の証明で、見た目から等しいと判断する。