3分後に排水を始める水槽問題で、式・変域・グラフをそろえる
中学3年の数学で、一次関数の利用問題に取り組んだ。水槽にははじめ20Lの水が入っている。給水管からは毎分4Lの水が入り続ける。排水管は、給水を始めてから3分後に開け、その後は毎分6Lずつ排水される。x分後の水槽の水量をyLとする。Aさんは「給水と排水が同時ならy＝20＋4x－6x、つまりy＝20－2xで、yが0になるのはx＝10だから10分後に空になる」と答えた。Bさんは「0≦x≦3と3≦xでは式が変わる」と言い、3分の時点で32Lになっていることを確かめてから、3分以降の式をy＝32－2(x－3)と表した。班では、Bさんの式をy＝38－2xと整理してよいか、また「空になる時刻」を何分と答えるかで意見が分かれた。Cさんは「3分以降も給水は続くのだから、水位は上がり続ける」と主張した。先生は「答える前に、xの変域と、その変域でyがどのように変化するかを説明すること」という条件を出した。グラフをかく欄には、0≦x≦3と3≦xで傾きが変わる折れ線をかくよう指示がある。なお、水槽の容量は50Lで、あふれることは考えないものとする。
1. Aさんの式とBさんの式のどちらが問題の条件に合うか、3分時点の水量を計算して説明しなさい。
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3分時点の水量：0≦x≦3では排水管は閉じているので、y＝20＋4x。x＝3を代入してy＝20＋12＝32L。
Aさんの誤り：y＝20－2xは「最初の瞬間から給水と排水が同時」という仮定の式で、問題文の「3分後に開ける」という条件を無視している。x＝3でy＝14Lとなり、実際の32Lと合わない。
Bさんの式：3分以降は毎分4L入り毎分6L出るので、1分あたりの変化は＋4－6＝－2L。3分時点の32Lを出発点にすると y＝32－2(x－3)。展開すると y＝32－2x＋6＝38－2x。
結論：Bさんの式が正しい。y＝38－2xと整理してもよいが、切片38は「x＝0のとき38L」という意味ではないので、3≦xという変域を必ず添える。
2. 水槽が空になる時刻を求め、xの変域とグラフの形を説明しなさい。
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求め方（変化量で考える）：3分以降は毎分2Lずつ減る。32Lを2L/分で割ると16分。3＋16＝19分。
式で確認：38－2x＝0 より x＝19。0≦x≦3の範囲では y＝20＋4x≧20なので、この解は3≦xの変域に入っており妥当。
グラフの形
- 0≦x≦3：傾き＋4の直線、（0, 20）から（3, 32）へ上昇。
- 3≦x≦19：傾き－2の直線、（3, 32）から（19, 0）へ下降。
- x＝3で傾きが変わる折れ線になり、最大値は32L。容量50Lなのであふれないという条件とも矛盾しない。
よくある誤答：Aさんの10分は「最初から排水していた場合」の値。3分間の給水を無視している点を説明できるようにする。
3. Cさんの「給水が続くのだから水位は上がり続ける」という主張の誤りを、1分あたりの純変化量という言葉を使って説明しなさい。また、給水量が毎分4Lのままで水位が上がり続けるのは、排水量が毎分何L未満のときか答えなさい。
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誤りの説明：水位を決めるのは給水量そのものではなく、1分あたりの純変化量（給水－排水）。3分以降は＋4－6＝－2L/分で、純変化量が負なので水位は下がる。「水が入っている」ことと「水位が上がる」ことは別の話である。
境界の計算：純変化量＝4－（排水量）。水位が上がり続けるのは純変化量＞0のときなので、4－（排水量）＞0 より 排水量＜4L/分。
判断の注意：排水量がちょうど4L/分なら純変化量は0で水位は32Lのまま変わらない。「上がり続ける」条件には4L/分は含まれない。またこの境界は、3分以降の区間でのみ意味を持つ。