文化祭プログラムの印刷費-割引を場合分けして比べる
山口県のある高校の文化祭で、生徒会は来場者向けのプログラムを180部印刷することにした。予算は12,000円で、税や送料は考えない。印刷会社Aは、基本料4,800円に1部あたり35円を加えた代金で、100部以上を頼むと最後に500円を割引する。印刷会社Bは、基本料2,000円に1部あたり55円を加えた代金で、割引はない。会計係のAさんは、A社の割引を「100部以上なら必ず500円引かれる」とだけ覚え、180部ではA社が安いと予想した。Bさんは「部数が少ないときはB社の方が安い」と言う。さらに生徒会は、予算12,000円を超えない範囲で、できるだけ多くの部数を印刷したい。ただし、A社の割引は100部以上のときだけ適用され、99部以下では適用されない。また、両社とも基本料は部数が0部でもかかるとする。AさんはA社の代金を 4,800+35×180−500 と計算したが、B社の代金は計算していない。Bさんは、A社の割引が100部から始まることを考慮していない。
1. 180部を印刷するとき、A社とB社の代金をそれぞれ求め、どちらが何円安いか。
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A社は100部以上なので割引が使える。
- A社：4,800+35×180−500 = 4,800+6,300−500 = 10,600円
- B社：2,000+55×180 = 2,000+9,900 = 11,900円
差は 11,900−10,600=1,300円。よってA社が1,300円安い。Aさんの予想は、B社の代金を計算していなかったが、結論としては正しい。
2. A社に頼むとき、予算12,000円以内で印刷できる最大部数を求めよ。割引の有無で場合分けし、境界も確認すること。
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A社でx部印刷するとする。
- x≧100のとき：4,800+35x−500=4,300+35x 12,000以下より 4,300+35x≦12,000 → 35x≦7,700 → x≦220。220は100以上なので適する。
- x<100のとき：4,800+35x≦12,000 → 35x≦7,200 → x≦205.7…。この範囲の最大整数は99。
全体では220部が最大。220部の代金は 4,300+35×220=12,000円ちょうど。なお、100部では割引後7,800円で、99部の8,265円より安くなる。割引の境界で代金が下がる点にも注意する。
3. A社とB社の代金が等しくなる部数をすべて求め、その結果から「B社は部数が少ないとき安い」という予想が正しい範囲を説明せよ。
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x<100では、4,800+35x=2,000+55x とすると 2,800=20x、x=140 となり、x<100に反するので解なし。
x≧100では、4,300+35x=2,000+55x とすると 2,300=20x、x=115。これは100以上なので適する。115部の代金はどちらも 8,325円。
したがって、1≦x<115 ではB社が安く、x=115で同額、x>115ではA社が安い。Bさんの「部数が少ないときはB社が安い」は、115部未満という範囲では正しい。ただし「少ない」を100部未満と限ると、100部以上115部未満でもB社が安いことを見落とす。