Yamaguchi Prefectural Public High School Entrance Examination - Mathematics case studies
Yamaguchi Prefectural Public High School Entrance Examination - Mathematics · Put your knowledge to work in context.
The Yamaguchi Prefectural Public High School Entrance Examination in Mathematics (山口県公立高等学校入学者選抜 数学) is the mathematics component of the selection process used by Yamaguchi Prefecture's public high schools to decide which junior-high graduates are admitted. It is taken by students finishing compulsory education who wish to enter a prefectural public high school, including those applying through special quotas or recommended places where a mathematics paper is still required. The paper is written and is marked by hand: alongside short answers and some multiple-choice basics, it asks candidates to show working, justify geometric arguments and explain their reasoning in sentences. Content follows the Japanese junior-high Course of Study, so it spans numbers and algebraic expressions, equations and inequalities, functions including y = ax², proportional and inverse relations, geometry and measurement, properties of figures and proof, and data handling with probability. Topics on this exam: Numbers and Algebraic Expressions (数と式), Equations and Inequalities / Functions (方程式・不等式、関数), Quadratic Functions and Proportional/Inverse Relations (関数 y=ax², 比例・反比例), Figures and Measurement / Geometry (図形, 図形と計量), Properties of Figures and Proof (図形の性質と証明), Data Handling and Probability (資料の活用, 確率), and Mathematical Thinking, Explanation and Expression (数学的な見方・考え方, 記述). The Yamaguchi Prefectural Public High School Entrance Examination - Mathematics case studies are 5 cases and about 238 words.
1文化祭プログラムの印刷費-割引を場合分けして比べる
山口県のある高校の文化祭で、生徒会は来場者向けのプログラムを180部印刷することにした。予算は12,000円で、税や送料は考えない。印刷会社Aは、基本料4,800円に1部あたり35円を加えた代金で、100部以上を頼むと最後に500円を割引する。印刷会社Bは、基本料2,000円に1部あたり55円を加えた代金で、割引はない。会計係のAさんは、A社の割引を「100部以上なら必ず500円引かれる」とだけ覚え、180部ではA社が安いと予想した。Bさんは「部数が少ないときはB社の方が安い」と言う。さらに生徒会は、予算12,000円を超えない範囲で、できるだけ多くの部数を印刷したい。ただし、A社の割引は100部以上のときだけ適用され、99部以下では適用されない。また、両社とも基本料は部数が0部でもかかるとする。AさんはA社の代金を 4,800+35×180−500 と計算したが、B社の代金は計算していない。Bさんは、A社の割引が100部から始まることを考慮していない。. 180部を印刷するとき、A社とB社の代金をそれぞれ求め、どちらが何円安いか。. A社に頼むとき、予算12,000円以内で印刷できる最大部数を求めよ。割引の有無で場合分けし、境界も確認すること。. A社とB社の代金が等しくなる部数をすべて求め、その結果から「B社は部数が少ないとき安い」という予想が正しい範囲を説明せよ。.
49 words, under 1 min2花壇への給水-一次関数と容量の判断
山口県の高校で、校庭の花壇に水をやるために2つの給水タンクを同時に使う計画を立てている。Aタンクには18 Lの水が入っており、ホースを開くと毎分0.6 Lずつ減っていく。Bタンクには3 Lの水が入っており、別のホースから毎分0.4 Lずつ増えていく。Bタンクの容量は12 Lで、満杯になるとそれ以上は入らず、水量は12 Lのままになる。給水開始からt分後のAタンクの水量を y A L、Bタンクの水量を y B L とする。ただし、Aタンクが空になっても給水は続け、Bタンクが満杯になるまでは毎分0.4 Lの割合が続くものとする。園芸委員は「2つのタンクの水量が同じになる時刻を求め、そのときBタンクが満杯でなければ安全だ」と説明している。また、Aタンクが空になるまでにBタンクが満杯になるかどうかを、式を使って確認したい。Aタンクの水は花壇に流れ、Bタンクの水は別の花壇に流れるため、途中で水量が変わることはない。満杯になったBタンクから水があふれる可能性も考える。. 給水開始からt分後のAタンク、Bタンクの水量を式で表し、2つの水量が等しくなる時刻とそのときの水量を求めよ。ただし、Bタンクが満杯になる前の式を使うこと。. Aタンクが空になるまでにBタンクが満杯になるかどうかを、時刻を求めて判断せよ。. Aタンクが空になるまでBタンクがあふれないようにするには、Bタンクの容量を何L以上にすればよいか。理由をつけて答えよ。.
58 words, under 1 min3橋のケーブル-放物線 y=ax^2 と安全余裕
山口県の公園にある橋の主ケーブルが放物線を描いている。橋の中心の真下を原点Oとし、水平方向にx m、高さをy mとすると、ケーブルは y=ax^2+4 (a 0) と表せる。中心から10 m離れた地点ではケーブルの高さが9 mである。橋の塔は中心から左右に20 mの位置にあり、ケーブルは塔の頂上に接続している。車道の高さは0 mで、高さ5.5 mのトラックが橋の下を通る。トラックの安全のためには、ケーブルとトラックの屋根の間に少なくとも0.2 mの余裕が必要である。運転手は「放物線の一番低い中心でさえ通れれば、どこでも通れる」と考えている。橋の下を通過できる範囲を、中心からの水平距離で考えたい。ただし、トラックの幅は考えず、屋根の高さだけを比べる。ケーブルの太さは無視し、塔の位置はx=−20とx=20とする。橋の中心付近はケーブルが低く、塔に近づくほど高くなる。. aの値を求め、塔の位置x=20 mにおけるケーブルの高さを求めよ。. x=6 mの地点で、ケーブルとトラックの屋根との余裕を求め、0.2 m以上の余裕があるか判断せよ。. トラックが0.2 m以上の余裕をもって通過できるxの範囲を求め、運転手の考え方が正しいか説明せよ。.
58 words, under 1 min4中点四角形PQRS-証明と周の長さ
山口県の高校の数学部で、四角形ABCDの辺AB、BC、CD、DAの中点をそれぞれP、Q、R、Sとし、四角形PQRSについて調べている。もとの四角形ABCDは長方形とは限らず、AC=10 cm、BD=14 cmである。生徒Aは、PQRSの4辺の長さを測らずに、周の長さが24 cmになると予想した。生徒Bは、PQRSはひし形になるので、周の長さは12 cmだと考えた。生徒Cは、ABCDが長方形でなくてもPQRSは平行四辺形になる、と主張した。先生は「PQRSが平行四辺形であることを、三角形ABCと三角形CDAに分けて考えなさい」と助言した。また、生徒Bの証明には、ABCDが長方形であるという仮定が混ざっているという指摘もあった。中点連結定理を使って、長さの関係を整理する。PQRSの辺はもとの四角形の対角線と平行になる。生徒Bは、ACとBDの長さが等しいと思い込んでいる。. 三角形ABCと三角形CDAに分けて、四角形PQRSが平行四辺形であることを証明せよ。. AC=10 cm、BD=14 cmのとき、PQRSの周の長さを求め、生徒Aと生徒Bのどちらが正しいか判断せよ。. 生徒Bが「PQRSはひし形になる」と断定した誤りを、ACとBDの長さの関係から説明せよ。また、生徒Cの主張は正しいか述べよ。.
37 words, under 1 min5文化祭の抽選-当たり確率と期待値
山口県の高校の文化祭で、クラス企画として参加費100円の抽選を200人が行うと予想している。抽選1は、1から6までの目が等確率で出るさいころを2回振り、出た目の和が7なら当たりで、景品の原価は300円である。抽選2は、袋に赤玉3個と白玉2個を入れ、1個取り出して色を記録して袋に戻し、もう1回同じことを行い、2回とも赤なら当たりで、景品の原価は300円である。クラス会計は、参加費の合計から景品代を引いた残りを利益にしたい。生徒Xは「抽選2の方が当たりやすいから、景品代が同じなら抽選2の方がもうかる」と言う。生徒Yは「当たりやすさだけでなく、1人あたりの期待値で比べる必要がある」と反論した。景品は当たり1回につき1個で、はずれには景品を出さない。参加者は全員1回だけ抽選し、200人が必ず参加すると仮定する。抽選2では、取り出した玉を毎回袋に戻すため、1回目と2回目の結果は独立である。生徒Xは当たり確率だけを見て、景品代の総額を計算していない。. 抽選1：2個のさいころの目の組は36通り。和が7になるのは (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) の6通り。 よって P1=6/36=1/6。 抽選2：1回目に赤が出る確率は3/5。袋に戻すので2回目も3/5。 よって P2=(3/5)×(3/5)=9/25。 9/25=0.36、1/6≒0.167なので、当たりやすさだけなら抽選2の方が高い。. 抽選1：1人あたりの景品代の期待値は 300×1/6=50円。200人では 50×200=10,000円。 参加費の合計は 100×200=20,000円なので、利益は 20,000−10,000=10,000円。 抽選2：1人あたりの景品代の期待値は 300×9/25=300×0.36=108円。200人では 108×200=21,600円。 利益は 20,000−21,600=−1,600円で、1,600円の損失になる。 よって、当たりやすい抽選2の方がもうかるという生徒Xの考えは誤り。景品代が同じでも、当たり確率が高いほど期待される景品代は大きくなる。. 景品原価200円のとき、1人あたりの期待景品代は 200×9/25=200×0.36=72円。 200人では 72×200=14,400円。利益は 20,000−14,400=5,600円となり、利益が出る。 一般に景品原価をc円とすると、1人あたりの期待景品代は c×9/25。これが参加費100円以下であればよい。 c×9/25≦100 → c≦100×25/9=2500/9≒277.8。 整数の原価なら277円以下なら利益が负にならない。278円では期待景品代が100円を超え、200人では損失になる。.
36 words, under 1 min