Yamaguchi Prefectural Public High School Entrance Examination - Mathematics cheat sheet

展開公式: (a+b)²=a²+2ab+b²、(a+b)(a−b)=a²−b²、(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab。

因数分解は展開の逆。共通因数をくくり出してから公式を適用する。

√a·√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)、√(a²b)=a√b(a>0)。分母の有理化は分母の√を分母分子に掛ける。

√の近似値比較は2乗して比べる。例: 2√3 と 3√2 は 12<18 より 2√3<3√2。

絶対値 |a| は a≥0 のとき a、a<0 のとき −a。

文字式の値は代入前に整理すると計算が軽くなる。

有効数字: かけ算・わり算の結果は有効数字の最も少ない桁数に合わせる。

整数の性質: 連続する2整数の積は必ず偶数、連続する3整数の積は必ず6の倍数。

一次方程式は移項で文字項を左辺、定数項を右辺に集めて ax=b の形にする。

連立方程式は加減法か代入法。一方の式を y=… に直すと代入法が速い。

不等式で負の数を掛ける・割ると不等号の向きが逆になる。

二次方程式 ax²+bx+c=0 の解は x=(−b±√(b²−4ac))/(2a)。

二次方程式は因数分解を優先し、因数分解できなければ解の公式を使う。

文章題は「何を x とおいたか」を明記し、答えが問題の条件(人数・長さ)に合うか確認する。

一次関数 y=ax+b の変化の割合は一定で a に等しい。

比例 y=ax のグラフは原点を通る直線、反比例 y=a/x のグラフは双曲線で原点を通らない。

y=ax² のグラフは原点を頂点とする放物線で、y 軸に関して対称。a>0 なら下に凸、a<0 なら上に凸。

y=ax² の変化の割合は x が p から q まで変化するとき a(p+q) で求められる。

放物線上の2点を通る直線の傾きは a(p+q)、切片は −apq。

y=ax² と直線の交点は、両式を連立してできる二次方程式の解が x 座標になる。

変域: y=ax² で x の変域が 0 を含むとき、y の最小値は 0 で最大値は両端の大きい方。

比例 y=ax では x が2倍になれば y も2倍、反比例 y=a/x では x が2倍になれば y は半分。

反比例の比例定数 a は a=xy で求められる。

放物線と三角形の面積は、交点の座標を求めてから底辺と高さを座標差で計算する。

三角形の内角の和は180°、n角形の内角の和は (n−2)×180°、外角の和は常に360°。

おうぎ形: 弧の長さ l=2πr×(中心角/360)、面積 S=πr²×(中心角/360)=½lr。

円柱の体積 V=πr²h、円錐の体積 V=⅓πr²h、球の体積 V=4/3πr³、表面積 S=4πr²。

相似な図形では長さの比が a:b なら面積比は a²:b²、体積比は a³:b³。

三平方の定理: 直角三角形で a²+b²=c²(c は斜辺)。逆も成り立ち、直角の判定に使える。

特別な直角三角形の辺の比は 45°-45°-90° が 1:1:√2、30°-60°-90° が 1:√3:2。

投影図・展開図の問題は、立体の辺の対応を確認してから長さを求める。

おうぎ形の転がりや回転体の長さは、中心が描く軌跡(弧)の半径を見極めて計算する。

平行線の錯角・同位角は等しい。逆に、錯角・同位角が等しければ2直線は平行。

三角形の合同条件: 3組の辺、2組の辺とその間の角、1組の辺とその両端の角。

直角三角形の合同条件: 斜辺と1つの鋭角、斜辺と他の1辺。

平行四辺形になる条件: 2組の対辺がそれぞれ平行、2組の対辺が等しい、対角線が中点で交わるなど。

二等辺三角形の底角は等しく、頂角の二等分線は底辺を垂直に2等分する。

円周角の定理: 同じ弧に対する円周角は等しく、中心角の半分。直径に対する円周角は90°。

証明は「仮定」「結論」を明確にし、根拠となる性質を明記して結論へつなげる。

三角形の相似条件: 3組の辺の比が等しい、2組の辺の比とその間の角が等しい、2組の角が等しい。

平均値=合計÷個数。中央値は資料を小さい順に並べたときの中央の値(偶数個なら中央2つの平均)。

最頻値は最も多く現れる値。階級値は各階級の(上限+下限)÷2。

相対度数=その階級の度数÷度数の合計。

確率=ある事象が起こる場合の数÷すべての場合の数(同様に確からしいとき)。

起こり得るすべての場合を表や樹形図で漏れなく書き出すと数え間違いを防げる。

余事象の確率は 1−(起こる確率) で求められる。

少なくとも1つ〜の確率は余事象を使うと計算が簡単になることが多い。

資料の散らばりは範囲(最大値−最小値)や度数分布表の形で比較する。

説明問題では「〜だから」「〜より」と根拠となる性質を明示して結論を書く。

「なぜそうなるか」を問われたら、式変形や図形の性質など数学的な根拠を1つ以上示す。

文字を使って一般性を示す場合、使った文字がどんな数を表すかを最初に断る。

反例を示すことで命題が偽であることを説明できる。

図形の証明では、仮定と結論を分けて書き、使った合同・相似条件を明記する。

結論だけを書かず、計算過程や考えた順序を記述すると部分点につながる。

関数の説明では、グラフの傾きや変化の割合の意味を言葉で表すとよい。

複数の解法を比較する問題では、それぞれの利点を具体的な計算量や条件で述べる。